Question

14．如圖所示，某一光滑斜面的傾角θ=37°，輕彈簧勁度系數(shù)為k，上端固定在斜面的擋板上，下端連接一個(gè)質(zhì)量為m的砝碼A，一同學(xué)手拿一塊質(zhì)量為2m的木板B，用B托住A緩緩向上壓彈簧，至斜面上的P點(diǎn)位置靜止，若此時(shí)若突然撤去B，則A向下的瞬時(shí)加速度為g，現(xiàn)用手控制B使B以$\frac{g}{5}$的加速度沿斜面向下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求：
（1）求砝碼A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）分別求出這段時(shí)間的起始和終了時(shí)刻手對(duì)木板的作用力；
（3）砝碼A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，木板B對(duì)它的支持力做了多少功？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)瞬時(shí)加速度的大小，對(duì)整體分析，求出撤去B的瞬間彈簧的彈力，根據(jù)牛頓第二定律求出A、B間彈力為零時(shí)，彈簧的彈力，結(jié)合彈簧形變量的變化量，根據(jù)位移時(shí)間公式求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
（2）對(duì)整體分析，根據(jù)牛頓第二定律求出這段時(shí)間起始和終了時(shí)刻手對(duì)木板的作用力．
（3）根據(jù)彈性勢(shì)能的變化量求出彈簧彈力做功的大小，對(duì)A運(yùn)用動(dòng)能定理，求出木板B對(duì)它的支持力做功的大小．

解答 解：（1）撤去B的瞬間，A的加速度為g，對(duì)整體分析，有：
F_彈+3mgsn37°=3ma，
解得：F_彈=1.2mg．
當(dāng)A、B的彈力為零時(shí)，勻加速運(yùn)動(dòng)結(jié)束，
當(dāng)A、B彈力為零時(shí)，有：${mgsin37°-F}_{彈}′=m•\frac{g}{5}$，
彈簧的彈力為：F_彈′=0.4mg，
可知彈簧形變量的變化量為：$△x=\frac{{F}_{彈}}{k}+\frac{{F}_{彈}′}{k}=\frac{1.6mg}{k}$，
根據(jù)$△x=\frac{1}{2}•\frac{g}{5}{t}^{2}$
得：t=$\sqrt{\frac{16m}{k}}$．
（2）初始時(shí)刻，對(duì)整體分析，有：F_彈+3mgsin37°-F₁=3ma，a=$\frac{g}{5}$，
解得：F₁=2.4mg．
終了時(shí)刻，對(duì)整體分析，有：3mgsin37°-F_彈′-F₂=3ma，
解得：F₂=0.8mg．
（3）B的末速度為：v=at=$\frac{4g}{5}\sqrt{\frac{m}{k}}$，
對(duì)B運(yùn)用動(dòng)能定理得：mg△xsin37°+W_N+W_彈=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
彈簧彈力做功等于彈性勢(shì)能的變化量為：
${W}_{彈}=\frac{1}{2}k{{x}_{1}}^{2}-\frac{1}{2}k{{x}_{2}}^{2}$=$\frac{1}{2}k（\frac{1.2mg}{k}）^{2}-\frac{1}{2}k（\frac{0.4mg}{k}）^{2}$=$\frac{0.64{m}^{2}{g}^{2}}{k}$，
則有：W_N=$\frac{-1.28{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．
答：（1）砝碼A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\sqrt{\frac{16m}{k}}$．
（2）這段時(shí)間的起始和終了時(shí)刻手對(duì)木板的作用力分別為2.4mg、0.8mg．
（3）木板B對(duì)它的支持力做功為$\frac{-1.28{m}^{2}{g}^{2}}{k}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵抓住臨界狀態(tài)，結(jié)合牛頓第二定律、胡克定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式綜合求解，知道木板對(duì)A的作用力是變力，求解變力做功情況，只能通過(guò)動(dòng)能定理．