Question

19．如圖所示，在xOy平面的第Ⅱ象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸、y軸相切于P、Q兩點(diǎn)，圓內(nèi)存在垂直于xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場．在第Ⅰ象限內(nèi)存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度為E，一帶正電的粒子（重力不計(jì)）以速度υ₀從P點(diǎn)射入磁場后恰好垂直y軸進(jìn)入電場，最后從M（$\frac{8R}{3}$，0）點(diǎn)射出電場，出射方向與x軸正方向夾角為α，且滿足tanα=$\frac{9}{8}$．
求：（1）帶電粒子的比荷；
（2）帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，由到達(dá)M的速度方向可利用速度的合成與分解得知該點(diǎn)y方向的速度．結(jié)合牛頓第二定律求得粒子的比荷；
（2）根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式，求出粒子進(jìn)入電場時(shí)的位置，畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)圖象中的幾何關(guān)系求出粒子運(yùn)動(dòng)的半徑；粒子在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，利用洛倫茲力提供向心力的公式，求出在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑，利用幾何關(guān)系求偏轉(zhuǎn)角θ，最后求出時(shí)間．

解答 解：（1）粒子垂直于電場進(jìn)入第一象限，粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子沿y軸負(fù)方向做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，
  qE=ma
設(shè)粒子在電場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，在x軸方向上，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，有：$\frac{8R}{3}$=v₀t ①
在M處，粒子沿y軸方向的分速度為：v_y=v₀tanα ②
v_y=at      ③
又據(jù)題意 tanα=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{9}{8}$  ④
聯(lián)立①②③④解得：$\frac{q}{m}=\frac{27{v}_{0}^{2}}{64ER}$ 
（2）又：y=$\frac{{v}_{y}}{2}•t$    ⑤
聯(lián)立得：y=$\frac{3}{2}R$⑥
粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O₁是磁場圓的圓心，O₂是粒子軌跡圓的圓心．P′是粒子射出磁場的位置，依題意知，粒子垂直y軸進(jìn)入電場，則P′O∥PO₁，且P′O₁=PO₁=R
所以粒子的軌道半徑 r=R    ⑦
由幾何知識得：y=R+Rcos（180°-θ）  ⑧
解得，θ=120°
粒子運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{{v}_{0}}$=$\frac{2πR}{{v}_{0}}$
所以粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=$\frac{120°}{360°}•T=\frac{2πR}{3{v}_{0}}$
答：（l）帶電粒子的比荷為$\frac{3{v}_{0}^{2}}{4ER}$；
（2）帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是$\frac{2πR}{3{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 粒子在電場中運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)時(shí)，常用能量的觀點(diǎn)來解決問題，有時(shí)也要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解．粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心、半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的確定也是本題的一個(gè)考查重點(diǎn)，要正確畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，能熟練運(yùn)用幾何知識解決物理問題．