Question

8．如圖所示，光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點，BC右端連接內壁光滑、半徑為r的四分之一細圓管CD，管口D端正下方直立一根勁度系數(shù)為k的輕彈簧，輕彈簧一端固定，另一端恰好與管口D端平齊．質量為m的滑塊在曲面上距BC的高度為2r處從靜止開始下滑，滑塊與BC間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，進入管口C端時與圓管恰好無作用力，通過CD后壓縮彈簧，在壓縮彈簧過程中滑塊速度最大時彈簧的彈性勢能為E_P．重力加速度為g．求：
（1）小球達到B點時的速度大小v_B；
（2）水平面BC的長度s；
（3）在壓縮彈簧過程中小球的最大速度v_m．

Answer 1

分析 （1）A到B的過程中只有重力做功，根據(jù)機械能守恒定律求出小球到達B點的速度大�。�
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在C點時的速度，根據(jù)動能定理求出水平面BC的長度．
（3）當小球重力和彈簧彈力相等時，小球的速度最大，根據(jù)功能關系求出小球的最大速度

解答 解：（1）A到B的過程中只有重力做功，由機械能守恒得：
mg•2r=$\frac{1}{2}$mv_B²
得：v_B=2$\sqrt{gr}$
（2）進入管口C端時與圓管恰好無作用力，重力提供向心力，由牛頓第二定有：mg=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{r}$
由動能定理得：mg•2r-μmgs=$\frac{1}{2}$mv_C²
解得：s=3r
（3）設在壓縮彈簧過程中速度最大時小球離D端的距離為x，則有：kx=mg
由功能關系得：mg（r+x）-E_P=$\frac{1}{2}$mv_m²-$\frac{1}{2}$mv_C²
得：v_m=$\sqrt{3gr+\frac{2m{g}^{2}}{k}-\frac{2{E}_{p}}{m}}$．
答：（1）小球達到B點時的速度大小是2$\sqrt{gr}$；
（2）水平面BC的長度是3r；
（3）在壓縮彈簧過程中小球的最大速度是$\sqrt{3gr+\frac{2m{g}^{2}}{k}-\frac{2{E}_{p}}{m}}$．

點評 本題綜合運用了機械能守恒定律、動能定理、功能關系以及牛頓第二定律，綜合性較強，是高考的熱點題型，需加強這方面的訓練．