Question

5．為了研究過山車的原理，某同學提出下列設想：取一個與水平方向夾角α=37°、長L=2.0m的粗糙傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個質(zhì)量m=0.5kg的小物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，到A點時的速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下，已知物塊與傾斜軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.5．（g取10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（1）求小物塊到達B點時的速度大�。�
（2）若小物塊在圓軌道最高點P處恰好無壓力，且在圓軌道最低點D時，對D點的壓力為30N，求圓軌道的半徑和小物塊在P處的速度大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度的合成與分解求得到達A點的速度，從A到B根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求得到達B點的速度；
（2）在D點根據(jù)牛頓第二定律求得半徑，在P點根據(jù)牛頓第二定律求得速度

解答 解：（1）由A點時的速度方向恰沿AB方向，得：
v_A═$\frac{{v}_{0}}{cos37°}=\frac{4}{0.8}m/s$=5m/s　
小物塊從A運動到B的過程，有：
2aL=${v}_{B}^{2}{-v}_{A}^{2}$
mgsin 37°-μmgcos 37°=ma　
解得：v_B=$\sqrt{33}$m/s．　
（2）小物塊對D點的壓力為30N，有：
F_ND-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
v_D=v_B
可解得圓軌道的半徑r=0.66m
小物塊對P點無壓力，有：
mg=m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$　
解得小物塊在P處的速度大小v_P=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{33}{5}}m/s$
答：（1）小物塊到達B點時的速度大小為$\sqrt{33}$m/s．
（2）若小物塊在圓軌道最高點P處恰好無壓力，且在圓軌道最低點D時，對D點的壓力為30N，圓軌道的半徑為6.6m，小物塊在P處的速度大小為$\sqrt{\frac{33}{5}}m/s$．

點評 此題要求熟練掌握平拋運動、運動學公式及牛頓第二定律、圓周運動等規(guī)律，包含知識點多，難度較大，屬于難題．