Question

2．如圖所示，粗糙的水平面平滑連接一個(gè)豎直平面內(nèi)的半圓形光滑軌道，其半徑為R=0.1m，半圓形軌道的底端放置一個(gè)質(zhì)量為m=0.1kg的小球B，水平面上有一個(gè)質(zhì)量為M=0.3kg的小球A以初速度v₀=4.0m/s開始向著小球B滑動(dòng)，經(jīng)過時(shí)間t=0.80s與B發(fā)生彈性碰撞．設(shè)兩小球均可以看作質(zhì)點(diǎn)，它們的碰撞時(shí)間極短，且已知小球A與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.25，g=10m/s²．求：
（1）小球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（2）確定小球A所停的位置距圓軌道最低點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A應(yīng)用動(dòng)量定理求解碰撞時(shí)A的速度；AB碰撞過程動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒，列方程組求碰后A的速度和B的速度，對(duì)B在軌道上運(yùn)動(dòng)過程機(jī)械能守恒求B球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度，然后根據(jù)牛頓第二定律求解球B受到的壓力；
（2）先判斷A是能到達(dá)最高點(diǎn)后飛出還是到達(dá)不了沿原路返回，然后求解．

解答 解：（1）碰前對(duì)A由動(dòng)量定理有：-μMgt=Mv_A-Mv₀ 
解得：v_A=2m/s                                
對(duì)A、B：碰撞前后動(dòng)量守恒：Mv_A=Mv_A′+mv_B 
碰撞前后動(dòng)能保持不變：$\frac{1}{2}$Mv_A²=$\frac{1}{2}$Mv_A′²+$\frac{1}{2}$mv_B² 
由以上各式解得：v_A′=1m/s  v_B=3 m/s    
又因?yàn)锽球在軌道上機(jī)械能守恒：$\frac{1}{2}$mv_B′²+2mgR=$\frac{1}{2}$mv_B² 
解得：v_c=$\sqrt{5}$m/s      
在最高點(diǎn)C對(duì)小球B有：mg+F_N=m$\frac{{v}_{c}^{2}}{R}$ 
解得：F_N=4N
由牛頓第三定律知：小球?qū)�軌道的壓力的大小�?N，方向豎直向上．  
（2）對(duì)A沿圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)：$\frac{1}{2}$Mv_A′²＜MgR
因此A沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)后又原路返回到最低點(diǎn)，此時(shí)A的速度大小為1m/s．
由動(dòng)能定理得：-μMgs=0-$\frac{1}{2}$Mv_A′² 
解得：s=0.2m
答：（1）小球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道的壓力為4N；
（2）確定小球A所停的位置距圓軌道最低點(diǎn)的距離為0.2m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了圓周運(yùn)動(dòng)與能量守恒定律的綜合運(yùn)用問題，是力學(xué)典型的模型，也可以用動(dòng)能定理結(jié)合牛頓第二定律求解．