Question

14．如圖所示，軌道a、b、c在同一豎直平面內(nèi)，其中a是光滑圓弧軌道且末端水平，b是半徑為r=2m的光滑半圓形軌道且直徑DF沿豎直方向，水平軌道c上靜止放置著相距l(xiāng)=1.0m的物塊B和C，B位于F處，現(xiàn)將小球A從軌道a距D點(diǎn)高為H的位置由靜止釋放，小球經(jīng)D處水平進(jìn)入軌道b后恰能沿軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)F處與物塊B正碰，碰后A、B粘在一起向右滑動(dòng)，并與C發(fā)生彈性正碰．已知A、B、C質(zhì)量分別為m，m，6m均可看做質(zhì)點(diǎn)，物塊與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.45．（設(shè)碰撞時(shí)間很短，g取10m/s²）
（1）求H的大小；
（2）求物塊C與AB整體都停止運(yùn)動(dòng)后它們之間的距離．

Answer 1

分析 （1）要使滑塊A能沿豎直平面內(nèi)光滑半圓軌道b內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)應(yīng)滿足：mg≤$\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$，結(jié)合滑塊A沿a軌道下滑過(guò)程中機(jī)械能守恒列式求解H的大�。�
（2）AB碰撞過(guò)程，由動(dòng)量守恒定律求得碰后共同速度，再由動(dòng)能定理求得AB整體與C碰撞前瞬間的速度；
AB整體與C發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律求出碰撞后AB的速度和C的速度，由動(dòng)能定理求出它們?cè)诘孛嫔匣�行的距離，然后結(jié)合幾何關(guān)系求出它們之間的距離．

解答 解：（1）滑塊A從軌道a下滑到達(dá)D點(diǎn)的過(guò)程中，由機(jī)械能守恒定律得：
   mgH=$\frac{1}{2}$mv_D²，
要使滑塊A恰好能沿豎直平面內(nèi)光滑半圓軌道b內(nèi)側(cè)做圓周運(yùn)動(dòng)，在D點(diǎn)應(yīng)滿足：
  mg=$\frac{m{v}_{D}^{2}}{r}$，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得 H=1m．
（2）滑塊A從a軌道上H=1m處下滑到達(dá)F點(diǎn)的過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
   mg（H+2r）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得，滑塊經(jīng)過(guò)F點(diǎn)的速度 v₀=10m/s
A、B碰撞過(guò)程，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：
   mv₀=2mv₁．
設(shè)AB整體與C碰撞前瞬間的速度為v₂．由動(dòng)能定理得：
-μ•2mgl=$\frac{1}{2}•2m{v}_{2}^{2}$-$\frac{1}{2}•2m{v}_{1}^{2}$
聯(lián)立以上各式解得 v₂=4m/s
AB整體與C發(fā)生彈性碰撞，由動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律得：
   2mv₂=2mv₃+6mv
   $\frac{1}{2}$×2mv₂²=$\frac{1}{2}$×2mv₃²+$\frac{1}{2}$•6mv₄²
解得 v₃=-2m/s，v₄=2m/s
此時(shí)AB整體的運(yùn)動(dòng)方向與C相反，速度的大小相等．
A與B的整體向左做減速運(yùn)動(dòng)，位移的大�。�${x}_{AB}=\frac{\frac{1}{2}•2m{v}_{3}^{2}}{2μmg}$
代入數(shù)據(jù)得：${x}_{AB}=\frac{4}{9}$m
C向右做減速運(yùn)動(dòng)的位移：${x}_{c}=\frac{{\frac{1}{2}•6mv}_{2}^{2}}{6μmg}$
代入數(shù)據(jù)得：${x}_{c}=\frac{4}{9}$m
所以AB與C之間的距離：L=${x}_{AB}+{x}_{C}=\frac{4}{9}m+\frac{4}{9}m=\frac{8}{9}$m
答：（1）H的大小是1m；
（2）物塊C與AB整體都停止運(yùn)動(dòng)后它們之間的距離是$\frac{8}{9}$m．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道力學(xué)綜合題，分析清楚小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程、應(yīng)用機(jī)械能守恒定律、動(dòng)能定理、牛頓第二定律即可正確解題；解題時(shí)要注意小球做圓周運(yùn)動(dòng)臨界條件的應(yīng)用．