Question

19．如圖為固定在豎直平面內的軌道，直軌道AB與光滑圓弧軌道BC相切，圓弧軌道的圓心角為37°，半徑為r=0.25m，C端水平，AB段的動摩擦因數為0.5．豎直墻壁CD高H=0.2m，緊靠墻壁在地面上固定一個和CD等高，底邊長L=0.3m的斜面．一個質量m=0.1kg的小物塊（視為質點）在傾斜軌道上從距離B點l=0.5m處由靜止釋放，從C點水平拋出．重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）小物塊運動到C點時對軌道的壓力的大��；
（2）小物塊從C點拋出到擊中斜面的時間；
（3）改變小物體從軌道上釋放的初位置，求小物體擊中斜面時動能的最小值．

Answer 1

分析 （1）小物塊從A到C的過程，由動能定理求出C點的速度．在C點，由牛頓第二定律求軌道對小物塊的支持力，再由牛頓第三定律得到小物塊對軌道的壓力．
（2）小物塊離開C點后做平拋運動，由平拋運動的規(guī)律和幾何關系列式，聯立求解平拋運動的時間．
（3）根據數學知識得到小物體擊中斜面時動能與釋放的初位置坐標的關系式，由數學知識求解動能的最小值．

解答 解：（1）小物塊從A到C的過程，由動能定理得：$mglsin{37°}+mg（r-rcos{37°}）-μmglcos{37°}=\frac{1}{2}m{v_0}^2$
代入數據解得：${v_0}=\sqrt{3}m/s$
在C點，由牛頓第二定律得：$N-mg=m\frac{v_0^2}{r}$
代入數據解得：N=2.2N
由牛頓第三定律得，小物塊運動到C點時對軌道的壓力的大小為2.2N．
（2）如圖，設物體落到斜面上時水平位移為x，豎直位移為y，
$\frac{L-x}{y}=\frac{L}{H}$
代入得：x=0.3-1.5y
由平拋運動的規(guī)律得：
x=v₀t，
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
聯立得 $15{t^2}+2\sqrt{3}t-0.6=0$
代入數據解得：$t=\frac{{\sqrt{3}}}{15}s$
（3）由上知 x=0.3-1.5y
$v_0^2{t^2}=v_0^2\frac{2y}{g}={（0.3-1.5y）^2}$
可得：$v_0^2=\frac{{g{{（0.3-1.5y）}^2}}}{2y}$
小物體擊中斜面時動能為：${E_k}=\frac{1}{2}m{v_0}^2+mgy=\frac{0.09}{4}mg\frac{1}{y}+\frac{25}{16}mgy-\frac{0.9}{4}$
解得：當y=0.12m，E_kmin=0.15J
答：（1）小物塊運動到C點時對軌道的壓力的大小是2.2N；
（2）小物塊從C點拋出到擊中斜面的時間是$\frac{\sqrt{3}}{15}$s；
（3）改變小物體從軌道上釋放的初位置，小物體擊中斜面時動能的最小值是0.15J．

點評 解決本題的關鍵要掌握平拋運動的研究方法和運動規(guī)律，知道小球落在斜面上時具有的幾何關系，通過函數法求解動能的最小值．