Question

（18分）在光滑水平面上有一圓形氣缸,缸內(nèi)用絕熱活塞封閉了一定質(zhì)量的理想氣體,氣缸（含氣體）和活塞的質(zhì)量均為m,氣缸內(nèi)壁光滑且絕熱,在氣缸的左側(cè)固定一個(gè)半徑為R的四分之一圓周的光滑圓弧軌道，軌道最低點(diǎn)的切線是水平的,并且與氣缸內(nèi)壁面等高,如圖所示,先讓質(zhì)量為m的小球從與圓弧軌道圓心等高處由靜止滑下,求：

（1）小球到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；

（2）若小球與活塞碰后立即黏合在一起,則氣體內(nèi)能增加的最大量是多少；

（3）求在整個(gè)過(guò)程中氣缸的最大速度.

Answer 1

（1）機(jī)械能守恒，小球到最低點(diǎn)時(shí)

          mgR ＝                                       (1分)

          v₀＝       ①                                 (1分)

         對(duì)小球受力分析，受軌道的支持力N和自身重力，且

 N — mg ＝                           (1分)

            所以  N＝3mg                                     (1分)

         根據(jù)牛頓第三定律，小球?qū)�軌道的壓力大小為N ’ =N=3mg  (1分)

         方向?yàn)樨Q直向下                                       (1分)

（2）小球碰到活塞時(shí)共速，設(shè)小球和活塞共速的速度為mv₁

mv₀＝2mv₁ ②                                     (1分)

當(dāng)氣體不能再壓縮時(shí)，獲得最大的內(nèi)能增加量△U，小球、活塞和氣缸（含氣體）共速，設(shè)為v₂

  2mv₁ ＝3m₂   ③                    (1分)

△U ＝   ④     (2分)

聯(lián)立①②③④，得

△U＝mgR                         (2分)

        (3)當(dāng)氣缸中理想氣體恢復(fù)原來(lái)體積的時(shí)候，設(shè)小球和活塞速度為v₃，此時(shí)氣缸有最大速度v₄，

2mv₃ +m v₄ ＝ mv₀                  (2分)

            (2分)

聯(lián)立①，有v₄ ＝                (2分)