Question

11．一顆在赤道上空運(yùn)行的人造衛(wèi)星，其軌道半徑為r=2R（R為地球半徑），衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同．已知地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω₀，地球表面處的重力加速度為g．求
（1）該衛(wèi)星所在處的重力加速度g′；
（2）該衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω；
（3）該衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過赤道上同一建筑物正上方的時(shí)間間隔△t．

Answer 1

分析 在地球表面處物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，在軌道半徑為r處，仍有萬有引力等于重力$mg′=G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}$，化簡(jiǎn)可得在軌道半徑為r 處的重力加速度．
人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由地球的萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}=m{ω}^{2}（2R）$，結(jié)合黃金代換計(jì)算人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與建筑物轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空．

解答 解：（1）在地球表面處物體受到的重力等于萬有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，
在軌道半徑為r處，仍有萬有引力等于重力$mg′=G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}$，
解得：g′=$\frac{1}{4}g$
（2）根據(jù)萬有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{（2R）}^{2}}=m{ω}^{2}（2R）$，得ω=$\sqrt{\frac{g}{8R}}$，
（3）衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，建筑物隨地球自轉(zhuǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)衛(wèi)星轉(zhuǎn)過的角度與建筑物轉(zhuǎn)過的角度之差等于2π時(shí)，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上空
以地面為參照物，衛(wèi)星再次出現(xiàn)在建筑物上方時(shí)，建筑物隨地球轉(zhuǎn)過的弧度比衛(wèi)星轉(zhuǎn)過弧度少2π．
即ω△t-ω₀△t=2π
解得：△t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{8R}-{ω}_{0}}}$
答：（1）在軌道半徑為r 處的重力加速度為$\frac{1}{4}g$；
（2）人造衛(wèi)星繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為為$\sqrt{\frac{g}{8R}}$；
（3）該衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過赤道上同一建筑物正上方的時(shí)間間隔△t為$\frac{2π}{\sqrt{\frac{g}{8R}-{ω}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 該題為天體運(yùn)動(dòng)的典型題型，由萬有引力提供向心力，再根據(jù)向心力的基本公式求解，解題過程中注意黃金代換式$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$的應(yīng)用