Question

15．如圖a所示的平面坐標(biāo)系xOy，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)充滿了勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖b所示．開始時(shí)刻，磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)（如圖），t=0時(shí)刻有一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿x軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)，初速度為v₀=2×10³m/s．已知帶電粒子的比荷為$\frac{q}{m}$=1.0×10⁴C/kg，其它有關(guān)數(shù)據(jù)見圖中標(biāo)示．試求：

（1）t₁=$\frac{4π}{3}$×10^-4s時(shí)粒子所處位置的坐標(biāo)（x₁，y₁）；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)后第一次到達(dá)y軸時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離h；
（3）帶電粒子是否還可以返回原點(diǎn)？如果可以，求返回原點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間t′．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力提供向心力可以得到軌道半徑，由軌道半徑可得周期，由磁場(chǎng)的變化可以畫出在第一段時(shí)間內(nèi)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由運(yùn)動(dòng)軌跡的幾何關(guān)系可得到粒子的坐標(biāo)；
（2）依據(jù)第一問得到的結(jié)果，可以得到在第二，第三時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖可知粒子恰好在第三段時(shí)間末到達(dá)y軸，由此可得時(shí)間和第一次到達(dá)y軸時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離h；
（3）依據(jù)磁場(chǎng)變化的周期性，可知粒子的運(yùn)動(dòng)也存在對(duì)應(yīng)的周期性，可做粒子的軌跡圖，由圖可知其返回的時(shí)間．

解答 解：（1）由題意知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)半徑為R，周期為T，由洛倫茲力提供向心力，有：
$Bqv=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$…①
$T=\frac{2πR}{{v}_{0}}$…②
聯(lián)解①②并代入數(shù)據(jù)得：
T=4π×10^-4s…③
比較粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)周期T和磁場(chǎng)變化周期可知，粒子在t₁時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)了三分之一圓周，其圓心為O₁，運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．
由圖中幾何關(guān)系有：
x₁=Rcos30°…④
y₁=R（1+sin30°）=1.5R…⑤
聯(lián)解①④⑤并代入數(shù)據(jù)得：
${x}_{1}=\frac{\sqrt{3}}{5}$m，y₁=0.6m．
（2）根據(jù)磁場(chǎng)的變化規(guī)律知，粒子在磁場(chǎng)的第一個(gè)周期后三分之一周期內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的方向?qū)�發(fā)生變化，設(shè)其圓心為O₂；第二個(gè)周期前三分之二周期內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心為O₃，作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖所示．

由圖中幾何關(guān)系有：
$\overline{O{O}_{1}}=R$…⑥
$\overline{{O}_{1}{O}_{3}}=4Rsin30°=2R$…⑦
$\overline{{O}_{3}B}=R$…⑧
$h=\overline{O{O}_{1}}+\overline{{O}_{1}{O}_{3}}+\overline{{O}_{3}B}$…⑨
聯(lián)解①⑥⑦⑧⑨并代入數(shù)據(jù)得：
h=1.6m
（3）可以回到原點(diǎn)；
由于粒子在磁場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性和周期性，作出粒子的部分運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示．

其中以O(shè)₁、O₃、O₅、O₇、O₉、O₁₁為圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為120°，每段軌跡對(duì)應(yīng)時(shí)間為：
${t}_{1}=\frac{1}{3}T$…⑩
以O(shè)₂、O₄、O₆、O₈、O₁₀、O₁₂為圓心的運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為60°，每段軌跡對(duì)應(yīng)時(shí)間為：
${t}_{2}=\frac{1}{6}T$…⑪
由圖中幾何關(guān)系，從原點(diǎn)出發(fā)到回到原點(diǎn)的總時(shí)間為：
t′=6（t₁+t₂）…⑫
聯(lián)解③⑩⑪⑫并代入數(shù)據(jù)得：
t′=12π×10^-4s…⑬
答：（1）t₁=$\frac{4π}{3}$×10^-4s時(shí)粒子所處位置的坐標(biāo)（$\frac{\sqrt{3}}{5}$m，0.6m）；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)后第一次到達(dá)y軸時(shí)離出發(fā)點(diǎn)的距離是1.6m；
（3）可以，返回原點(diǎn)經(jīng)歷的時(shí)間是12π×10^-4s．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)是對(duì)磁場(chǎng)周期性的應(yīng)用，磁場(chǎng)的周期性一定就會(huì)由粒子運(yùn)動(dòng)周期性的變化，故只要得到一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)軌跡，就可以重復(fù)畫軌跡，直到得到想要的結(jié)果．本題由于粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡比較復(fù)雜，故考察的難度相對(duì)較大．