Question

如圖所示，將一質(zhì)量m=0.1kg的小球自水平平臺頂端O點水平拋出，小球恰好與斜面無碰撞的落到平臺右側(cè)一傾角為α=53°的光滑斜面頂端A并沿斜面下滑，斜面底端B與光滑水平軌道平滑連接，小球以不變的速率過B點后進(jìn)入BC部分，再進(jìn)入豎直圓軌道內(nèi)側(cè)運(yùn)動．已知斜面頂端與平臺的高度差h=3.2m，斜面頂端高H=15m，豎直圓軌道半徑R=5m． g取10m/s²．試求：
（1）小球水平拋出的初速度v₀及斜面頂端與平臺邊緣的水平距離x；
（2）小球離開平臺后到達(dá)斜面底端的速度大小；
（3）若豎直圓軌道光滑，求小球運(yùn)動到圓軌道最高點D時對軌道的壓力．
（4）若豎直圓軌道粗糙，小球運(yùn)動到軌道最高點與軌道恰無作用力，求小球從圓軌道最低點運(yùn)動到最高點的過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

分析：小球從O到A的過程是平拋，分解為水平方向的勻速直線和豎直方向的自由落體；小球到斜面底端的全程只有重力做功，可用動能定理求解；軌道光滑時，小球從C到D點過程只有重力做功，可用動能定理，在D點結(jié)合牛頓第二定律，第三定律解題．

解答：解：（1）研究小球作平拋運(yùn)動，小球落至A點時，由平拋運(yùn)動速度分解圖可得：
水平速度：v₀=v_ycotα
合速度與豎直分速度的關(guān)系：v_A=

vy

sinα

小球豎直方向做自由落體運(yùn)動：v_y²=2gh，h=

1

2

gt2 
小球水平方向做勻速直線運(yùn)動：x=v₀t
由上式解得：v₀=6m/s       x=4.8m      v_A=10m/s          
（2）由動能定理可得小球到達(dá)斜面底端時的速度v_B
 mgH=

1

2

mvB2-

1

2

mvA2v_B=20m/s          
（3）豎直圓軌道光滑，研究小球從C點到D點，設(shè)小球到達(dá)D點時的速度為v_D
由動能定理可得-2mgR=

1

2

mvD2-

1

2

mvC2
在D點由牛頓第二定律可得：N+mg=m

vD2

R

由上面兩式可得：N=3N              
由牛頓第三定律可得：小球在D點對軌道的壓力N′=3N，方向豎直向上．
（4）若豎直圓軌道粗糙，小球在最高點與環(huán)作用力恰為0時，速度為

v

′ D

則mg=m

vD′2

R

vD′=

gR

從最低點最高點：-mg2R+Wf=

1

2

mvD′2-

1

2

mvC2
W_f=-7.5J    克服摩擦力所做的功7.5J                  
答：（1）小球水平拋出的初速度為6m/s，斜面頂端與平臺邊緣的水平距離為4.8m．
（2）小球離開平臺后到達(dá)斜面底端的速度大小20m/s．
（3）若豎直圓軌道光滑，小球在D點對軌道的壓力N′=3N，方向豎直向上．
（4）若豎直圓軌道粗糙，小球運(yùn)動到軌道最高點與軌道恰無作用力，小球克服摩擦力所做的功7.5J．

點評：遇到題目過程非常復(fù)雜時，注意把題目細(xì)化分解到小的過程．比如此題中，整個過程可分為平拋、沿光滑斜面勻加速、沿水平面勻速、沿圓軌道圓周運(yùn)動．