Question

如圖所示，在豎直平面內(nèi)放置一長為L的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一個(gè)直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶電荷量為-q、質(zhì)量為m．玻璃管右邊的空間存在著勻強(qiáng)電場與勻強(qiáng)磁場的復(fù)合場．勻強(qiáng)磁場方向垂直于紙面向外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B；勻強(qiáng)電場方向豎直向下 電場強(qiáng)度大小為

mg

q

．電磁場的左邊界與玻璃管平行，右邊界足夠遠(yuǎn)．玻璃管帶著小球以水平速度v₀垂直于左邊界向右運(yùn)動(dòng)，由于水平外力F的作用，玻璃管進(jìn)入磁場后速度保持不變，經(jīng)一段時(shí)間后小球從玻璃管b端滑出并能在豎直平面內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)，最后從左邊界飛離電磁場． 運(yùn)動(dòng)過程中小球的電荷量保持不變，不計(jì)一切阻力．求：
（1）小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大小．
（2）從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系．
（3）通過計(jì)算畫出小球離開玻璃管后的運(yùn)動(dòng)軌跡．

Answer 1

（1）由題意可知：E=

mg

q

，則有qE=mg，電場力與重力平衡，小球在管子中運(yùn)動(dòng)的加速度為：
a=

Fy

m

=

Bv0q

m

．
設(shè)小球從玻璃管b端滑出時(shí)豎直方向的分速度大小為v_y，則：

v

2y

=2aL
所以小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大小為：
v=

v 20 + v 2y

=

v 20 + 2Bv0q m L

（2）玻璃管向右勻速運(yùn)動(dòng)，則有
   F=F_x=Bv_yq
又：v_y=at=

Bv0q

m

t
則外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系：F=

B2v0q2

m

t．
（3）設(shè)小球在管中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，小球在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，軌跡如圖1所示．
t時(shí)間內(nèi)玻璃管運(yùn)動(dòng)的距離為：x=v₀t
根據(jù)牛頓第二定律得：qvB=m

v2

R

得：R=

mv

qB

由幾何關(guān)系有：sinα=

x-x1

R

              

x1

R

=

vy

v

得：x₁=

vy

v

R=

Bv0qt

mv

?

mv

qB

=v₀t=x
可得：sinα=0，α=0
即小球飛離磁場時(shí)速度方向垂直磁場左邊界向左，則小球的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示．
答：
（1）小球從玻璃管b端滑出時(shí)速度的大小為

v 20 + 2Bv0q m L

．
（2）從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程z中，外力F隨時(shí)間t變化的關(guān)系為F=

B2v0q2

m

t．
（3）畫出小球離開玻璃管后的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖2所示．