Question

8．如圖所示，長(zhǎng)為l的繩子下端連著質(zhì)量為m的小球，上端懸于天花板上，把繩子拉直，繩子與豎直線夾角為30°，此時(shí)小球靜止于光滑的水平桌面上．問(wèn)：
（1）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$作圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力及桌面受到壓力各為多大？
（2）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$作圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力及桌面受到壓力各為多大？

Answer 1

分析 當(dāng)小球?qū)ψ烂鏌o(wú)壓力，靠重力和拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出圓錐擺的角速度．結(jié)合圓錐擺的角速度判斷小球是否離開(kāi)桌面，再結(jié)合水平方向上合力提供向心力，豎直方向上合力為零求解拉力和支持力的大�。�

解答 解：（1）當(dāng)壓力為零時(shí)，根據(jù)$mgtan30°=mlsin30°{{ω}_{0}}^{2}$得：
${ω}_{0}=\sqrt{\frac{g}{lcos30°}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}}{3}•\frac{g}{l}}$，
當(dāng)ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$＜ω₀時(shí)，可知小球未離開(kāi)桌面，根據(jù)牛頓第二定律得：
Tsinθ=mlsinθω²，
解得拉力為：T=mg，
在豎直方向上，有：Tcos30°+N=mg，
解得支持力N=$mg-Tcos30°=（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
根據(jù)牛頓第三定律知，桌面受到的壓力大小為$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
（2）當(dāng)ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$＞ω₀時(shí)，小球離開(kāi)桌面，此時(shí)桌面受到的壓力為零，
根據(jù)牛頓第二定律得，T′sinα=mlsinαω²，
解得拉力T′=4mg．
答：（1）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{g}{l}}$作圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力為mg，壓力為$（1-\frac{\sqrt{3}}{2}）mg$．
（2）當(dāng)球以ω=$\sqrt{\frac{4g}{l}}$作圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子的張力為4mg，壓力為0．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵通過(guò)牛頓第二定律得出小球?qū)ψ烂娴膲毫�為零時(shí)的臨界角速度，判斷小球是否離開(kāi)桌面．知道小球靠水平方向上的合力提供向心力，豎直方向上的合力為零．