Question

【題目】如圖所示（俯視），MN和PQ是兩根固定在同一水平面上的足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)的光滑平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間距為L=0.20m，其間有一個(gè)方向垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B1=5.0T，導(dǎo)軌上NQ之間接一電阻R1=0.40Ω。質(zhì)量為m2=0.2kg橡膠棒和阻值為R2=0.10Ω、質(zhì)量為m1=0.4kg的金屬桿垂直導(dǎo)軌放置并與導(dǎo)軌始終保持良好接觸，兩導(dǎo)軌右端通過(guò)金屬導(dǎo)線分別與電容器C的兩極板相連。電容器C的A極板開(kāi)有小孔b，b正對(duì)固定、絕緣、薄壁彈性圓筒上的小孔a（只能容一個(gè)粒子通過(guò)），圓筒壁光滑，筒內(nèi)有垂直水平面豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B2=×10-3T，O是圓筒的圓心，圓筒的半徑r=0.40m。

(1)橡膠棒以v0=10m/s的速度與靜止的金屬桿發(fā)生碰撞（時(shí)間極短），碰撞過(guò)程中系統(tǒng)動(dòng)能損失一半。碰撞后立即對(duì)金屬桿施加一個(gè)與導(dǎo)軌平行的水平向左的力F，使金屬桿以碰撞后的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，求F的大小；

(2)當(dāng)金屬桿處于(2)問(wèn)中的勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，電容器內(nèi)緊靠B極板D處且靜止的一個(gè)帶正電的粒子經(jīng)電容器C加速后由b孔射出，并從a孔垂直磁場(chǎng)B2并正對(duì)著圓心O進(jìn)入筒中，該粒子與器壁碰撞后恰好又從小孔a射出圓筒而做周期性運(yùn)動(dòng)。已知該帶電粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞時(shí)電量和能量都不損失，粒子的比荷為=5×107(C/kg)，求該帶電粒子每次進(jìn)磁場(chǎng)到出磁場(chǎng)過(guò)程中與圓筒壁碰撞的次數(shù)及所用的時(shí)間。（不計(jì)粒子重力及空氣阻力）

Answer 1

【答案】(1)F=10N；(2)發(fā)生2次碰撞；

【解析】

(1)由動(dòng)量守恒得

m2v0=m1v1+m2v2

由能量守恒得

m2v02=2(m1v12+m2v22)

得

v1=5m/s，v2=0

v1=m/s ；v2=m/s不合理舍去

安培力F=B1IL，電流為

I=

解得

F=10N

(2)設(shè)桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)C兩極板間的電壓為U，帶電粒子進(jìn)入圓筒的速率為v、在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由于C與電阻R1并聯(lián)，根據(jù)歐姆定得

U=IR1=4V

根據(jù)動(dòng)能定理有

Uq=mv2

帶電粒子在磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)

由幾何關(guān)系得

每段軌跡圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為

粒子在圓筒內(nèi)的軌跡具有對(duì)稱(chēng)性，在一個(gè)周期內(nèi)與筒壁發(fā)生2次碰撞，由3段相同的圓弧組成

或