Question

（2013?安徽模擬）光滑的長(zhǎng)直斜面軌道固定在豎直平面內(nèi)，與水平軌道BCD連接，水平軌道的BC段粗糙，CD段光滑，一根輕質(zhì)彈簧一端固定在D處的豎直面上，另一端與質(zhì)量為3m的物塊b則好在C點(diǎn)接觸（不連接），彈簧處于水平自然長(zhǎng)度．將質(zhì)量為m的物塊a從斜面軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放下滑．物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向右壓縮彈簧．已知A點(diǎn)的高度為h，BC=l，物塊a、b與BC段水平軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.25和μ₂=0.4，重力加速度為g，物塊a、b均可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）物塊a第一次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度；
（2）彈簧在形變過程中，所能獲得的最大彈性勢(shì)能；
（3）試討論釋放點(diǎn)高度h取何值時(shí)，a、b能且只能發(fā)生一次碰撞．

Answer 1

分析：（1）由機(jī)械能守恒求速度
（2）由動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒求彈簧的彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性，由能量守恒定律求解最大的彈性勢(shì)能．
（3）由于物塊b的加速度大小大于物塊a的加速度大小，所以經(jīng)過C點(diǎn)后，a、b兩物塊分離，同時(shí)也與彈簧分離．

解答：解：（1）物塊a由A到B過程中，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=

1

2

mv

2 1

所以第一次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度v1=

2gh

（2）物塊a從B到C過程中，由動(dòng)能定理得：
-μ1mgl=

1

2

mv

2 C1

-

1

2

mv

2 1

解得物塊a在C點(diǎn)的速度
vC1=

2g(h-0.25l)

物塊a、b在C點(diǎn)碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒有：
mv_C1=4mv_C2
解得兩物塊在C點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)速度
vC2=

g(h-0.25l) 8

a、b將彈簧壓縮過程中，系統(tǒng)a、b的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，有：
EPmax=

1

2

×4

mv

2 C2

=

mg(h-0.25l)

4

（3）a、b一起壓縮彈簧后又返回C點(diǎn)時(shí)速度大小
v_C3=vC2=

g(h-0.25l) 8

由于物塊b的加速度大小大于物塊a的加速度大小，所以經(jīng)過C點(diǎn)后，a、b兩物塊分離，同時(shí)也與彈簧分離．
討論：①假設(shè)a在C處時(shí)速度為vC1=

2g(h-0.25l)

=0，即h=0.25l
要使a、b能夠發(fā)生碰撞，則h＞0.25l
②假設(shè)物塊a滑上斜面軌道又返回，最終停在水平軌道上P點(diǎn)，物塊b在水平軌道上勻減速滑到P點(diǎn)也恰好停止．設(shè)PB=x，則CP=l-x，根據(jù)能量守恒
對(duì)a：μ1mg(l+x)=

1

2

mv

2 C3

對(duì)b：μ23mg(l-x)=

1

2

×3

mv

2 C3

由以上兩式解得：
x=

3

13

l
h=

269

52

l
要使a、b只發(fā)生一次碰撞，則h≤

269

52

l
所以，當(dāng)0.25l≤h≤

269

52

l時(shí)，a、b兩物塊能且只能發(fā)生一次碰撞．
答：（1）物塊a第一次經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)的速度v1=

2gh

；
（2）彈簧在形變過程中，所能獲得的最大彈性勢(shì)能

mg(h-0.25l)

4

；
（3）當(dāng)0.25l≤h≤

269

52

l時(shí)，a、b兩物塊能且只能發(fā)生一次碰撞．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理，對(duì)學(xué)生能力的要求較高，其中第三問難度較高．