Question

(16分)如圖所示，讓一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球從光滑曲面軌道上的A點(diǎn)無(wú)初速滑下，運(yùn)動(dòng)到軌道最低點(diǎn)B后，進(jìn)入半徑為R的光滑豎直圓軌道，并恰好通過(guò)軌道最高點(diǎn)C，離開(kāi)圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)后拋出，最終撞擊到擱在軌道末端點(diǎn)和水平地面之間的木板上，已知軌道末端點(diǎn)距離水平地面的高度為H＝0.8m，木板與水平面間的夾角為θ＝37°，小球質(zhì)量為m＝0.1kg，A點(diǎn)距離軌道末端豎直高度為h＝0.2m，不計(jì)空氣阻力。(取g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

⑴求圓軌道半徑R的大小；
⑵求小球從軌道末端點(diǎn)沖出后，第一次撞擊木板時(shí)的位置距離木板上端的豎直高度有多大；
⑶若改變木板的長(zhǎng)度，并使木板兩端始終與平臺(tái)和水平面相接，試通過(guò)計(jì)算推導(dǎo)小球第一次撞擊木板時(shí)的動(dòng)能隨木板傾角θ變化的關(guān)系式，并在圖中作出E_k-(tanθ)²圖象。

Answer 1

⑴R＝0.08m；⑵y＝0.45m；⑶E_k＝0.8tan²θ＋0.2，其中0＜tan²θ≤1，

試題分析：⑴小球恰好能通過(guò)C點(diǎn)，因此，在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式有：mg＝
小球由A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：mg(h－2R)＝－0
聯(lián)立以上兩式解得：R＝＝0.08m
⑵小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功，根據(jù)動(dòng)能定理有：mgh＝－0
小球離開(kāi)D點(diǎn)后開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)經(jīng)時(shí)間t落到木板上，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可知，在水平方向上有：x＝v_Dt
在豎直方向上有：y＝
根據(jù)圖中幾何關(guān)系有：tanθ＝
聯(lián)立以上各式解得：y＝4htan²θ＝0.45m，即小球從軌道末端點(diǎn)沖出后，第一次撞擊木板時(shí)的位置距離木板上端的豎直高度為：y＝0.45m
⑶小球從離開(kāi)D點(diǎn)到第一次撞擊木板的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：mgy＝E_k－
解得：E_k＝mgy＋
由⑵中求解可知：E_k＝mgh(4tan²θ＋1)＝0.8tan²θ＋0.2
顯然，當(dāng)小球落地時(shí)動(dòng)能最大，為：E_km＝mg(h＋H)＝1J
所以有：0＜tan²θ≤1，其圖象如下圖所示。