Question

如圖所示，兩根足夠長(zhǎng)且平行的光滑金屬導(dǎo)軌與水平面成53°夾角固定放置，導(dǎo)軌間連接一阻值為6Ω的電阻R，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)．在兩平行虛線m、n間有一與導(dǎo)軌所在平面垂直、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．導(dǎo)體棒a的質(zhì)量為m_a=0.4kg，電阻R_a=3Ω；導(dǎo)體棒b的質(zhì)量為m_b=0.1kg，電阻R_b=6Ω；它們分別垂直導(dǎo)軌放置并始終與導(dǎo)軌接觸良好．a(chǎn)、b從開始相距L₀=0.5m處同時(shí)將它們由靜止開始釋放，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中它們都能勻速穿過(guò)磁場(chǎng)區(qū)域，當(dāng)b剛穿出磁場(chǎng)時(shí)，a正好進(jìn)入磁場(chǎng)（g取10m/s²，不計(jì)a、b之間電流的相互作用）．求：
（1）當(dāng)a、b分別穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，通過(guò)R的電荷量之比；
（2）在穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a、b兩導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小之比；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域沿導(dǎo)軌方向的寬度d為多大；
（4）在整個(gè)過(guò)程中，產(chǎn)生的總焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）導(dǎo)體棒進(jìn)入磁場(chǎng)切割磁感線，從而產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，電路出現(xiàn)感應(yīng)電流，則由法拉第電磁感應(yīng)定律與閉合電路歐姆定律，可推出通過(guò)導(dǎo)體棒的電量表達(dá)式：q總=

△Φ

R總

．
（2）兩棒勻速穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，安培力等于重力的分力．a(chǎn)棒勻速通過(guò)時(shí)，a棒相當(dāng)于電源，求出總電阻，b棒勻速通過(guò)時(shí)，b棒相當(dāng)于電源，求出總電阻．根據(jù)BIL=

B2L2v

R總

=mgsinθ，求出速度比．
（3）當(dāng)b棒到達(dá)m時(shí)，兩棒的速度相等，設(shè)b棒通過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間為t，則a棒到達(dá)m的速度v_a=v_b+gsin53°t，又d=v_bt，根據(jù)兩棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系，求出兩速度，再根據(jù)

v

2 a

-

v

2 b

=2gsin53°L0，可求出m點(diǎn)到n點(diǎn)的距離．
（4）在a穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，因a棒切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電流，可求出對(duì)應(yīng)的安培力做功，同理b棒切割磁感線，產(chǎn)生感應(yīng)電流，從而求出安培力做功，則兩棒整個(gè)過(guò)程中，產(chǎn)生的總焦耳熱為兩者之和．

解答：解：（1）由q=

.

I

△t； 
閉合電路歐姆定律：

.

I

=

. E

R總

； 
法拉第電磁感應(yīng)定律：

.

E

=

△Φ

△t

得：q總=

△Φ

R總

在b穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，b是電源，a與R是外電路，電路的總電阻R_總1=8Ω，
通過(guò)R的電荷量為qRb=

1

3

q總b=

1

3

?

△Φ

R總1

同理a棒在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)R_總2=6Ω，
通過(guò)R的電荷量為qRa=

1

2

q總a=

1

2

?

△Φ

R總2

可得：q_Ra：q_Rb=2：1
（2）設(shè)b在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v_b，則b中的電流Ib=

BLvb

R總1

由以上兩式得：

B2L2vb

R總1

=mbgsin53°
同理a棒在磁場(chǎng)中勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)

B2L2va

R總2

=magsin53°
可得v_a：v_b=3：1
（3）設(shè)a、b穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中的速度分別為v_a和v_b，
由題意得：v_a=v_b+gsin53°t
   勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有d=v_bt
因?yàn)?span id="ywqzfme" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

v

2 a

-

v

2 b

=2gsin53°L0
解得：d=0.25m
（4）安培力大小F_安a=m_agsin53°，
安培力做功：W_a=m_agdsin53°=0.8J
同理W_b=m_bgdsin53°=0.2J  
在整個(gè)過(guò)程中，電路中共產(chǎn)生多少焦耳熱Q=W_a+W_b=1J
答：（1）當(dāng)a、b分別穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，通過(guò)R的電荷量之比為2：1；
（2）在穿越磁場(chǎng)的過(guò)程中，a、b兩導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小之比為3：1；
（3）磁場(chǎng)區(qū)域沿導(dǎo)軌方向的寬度d為0.25m；
（4）在整個(gè)過(guò)程中，產(chǎn)生的總焦耳熱1J．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵能夠正確地對(duì)a、b棒進(jìn)行受力分析，根據(jù)受力情況判斷物體的運(yùn)動(dòng)情況．以及知道在勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，安培力等于重力沿斜面方向的分力．