Question

【題目】（1）試證明:“靜止的通電導線在磁場中受到的安培力，在數(shù)值上等于大量定向運動的電荷受到的洛倫茲力的總和”。以一段柱狀通電直導線為例，設導線的橫截面積為S，長度為L，單位體積內(nèi)自由電荷數(shù)為n，電荷電量為q，電荷定向移動的平均速率為v。假定在金屬導體中正電荷定向移動形成電流，得到結果具有普遍性（本假定同樣適用于以下兩問）。

（2）如圖所示，接通電路后，導體棒在安培力作用下向右運動。此時，導體中自由電荷既在電場力作用下沿導體棒運動，又隨導體棒沿水平方向運動，從而導致運動電荷所受洛倫茲力與宏觀安培力不在同一方向。

在此模型中，請證明：安培力對導體棒做功，在數(shù)值上等于大量可自由運動電荷所受洛倫茲力的某個分力對電荷做功的總和。

為方便證明，可設電源電動勢為E，導體棒的電阻為R，其長度為L，恰好等于平行軌道間距，整個裝置處于豎直、向下磁感應強度為B的勻強磁場中，忽略電源和金屬導軌的電阻。導體棒在安培力和摩擦力的作用下，向右以速度vx做勻速直線運動，在時間t內(nèi)由實線位置運動到虛線位置；同時棒內(nèi)某個正電荷在該時間t內(nèi)從a位置定向運動到b位置。如在證明過程中，還需用到其他物理量，請自行假設。

（3）在（2）問所涉及的模型中，通過導體棒的電流：。這是因為導體在運動過程中會切割磁感線，產(chǎn)生“反電動勢E”。請你根據(jù)該過程的微觀機制，利用電動勢的定義，求出圖示模型中的反電動勢E，并寫出通過導體棒的電流I。

Answer 1

【答案】（1）證明過程見解析；（2）證明過程見解析；（3）；。

【解析】

（1）寫出安培力和洛侖茲力的公式，將電流的微觀表達式代入安培力公式可證明是洛侖茲力的整數(shù)倍；

（2）根據(jù)圖示模型畫出正電荷的速度矢量圖，再由左手定則畫出洛侖茲力矢量分解圖，由功的定義，可以證明：安培力對導體棒做功，在數(shù)值上等于大量可自由運動電荷所受洛倫茲力的水平分力對電荷做功的總和；

（3）由電動勢的定義，及歐姆定律先求出反電動勢，然后再寫出電路中的電流。

：（1）證明：通電導線在磁場中受到的安培力為：

而電流為：

每個電荷q受到的洛侖茲力為：

所以安培力為：

（2）如圖所示的模型中，導體棒通電后受到安培力向右運動距離為，則安培力做功為：

正電荷的和速度如圖所示（下），及洛倫茲力如圖所示（上），則洛倫茲力水平分量為：

它所做的功為：

所以：

即安培力做功在數(shù)值上等于大量運動電荷所受洛倫茲力在導體棒運動方向上分力做功之和。

（3）根據(jù)電動勢的定義有：

電路中電流為：