Question

如圖所示，一輕質(zhì)彈簧一端固定在豎直墻上，另一端放一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m小物塊A．當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)，小物塊A處在O點(diǎn)，現(xiàn)使輕彈簧壓縮x₀至M點(diǎn)被鎖定，在右方距O點(diǎn)位移為L(zhǎng)的N點(diǎn)有一質(zhì)量為M的物塊靜止在半徑為R的光滑半圓形軌道底端，某時(shí)刻輕彈簧解除鎖定，小物塊A運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)與物塊B發(fā)生碰撞，碰撞后B恰能通過半圓形軌道上的最高點(diǎn)E做圓周運(yùn)動(dòng)，小物塊A也恰好能返回到O點(diǎn)速度為零，已知：小物塊A與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ、小物塊A的質(zhì)量m、物塊B的質(zhì)量M、L、x₀及圓弧半徑R．
求：（1）碰后A、B的速度
（2）碰前A的速度
（3）彈簧被鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析：（1）由題意，碰撞后B恰能通過E點(diǎn)做圓周運(yùn)動(dòng)，由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出B經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度，對(duì)于B，從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)的過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒求出碰后瞬間B的速度．對(duì)于A，從碰后到回到O點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理求解碰后A的速度．
（2）對(duì)A、B碰撞過程，由動(dòng)量守恒求解碰前A的速度．
（3）對(duì)于系統(tǒng)從彈簧解鎖到AB碰撞前的過程，運(yùn)用能量守恒列式，即可求得彈簧被鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能．

解答：解：（1）由題知：物體B過軌道最高點(diǎn)時(shí)有：
Mg=M

v 2 B1

R

得v_B1=

gR

…①
對(duì)物B：從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，機(jī)械能守恒，則得：
 

1

2

M

v

2 B

=

1

2

M

v

2 B1

+Mg?2R…②
由①②得：v_B=

5gR

… ③
即碰后B的速度為

5gR

對(duì)A：從碰后到回到O點(diǎn)過程，由動(dòng)能定理得：
-μmgL=0-

1

2

mv

′

2 A

解得：v′_A=

2μgL

…④
（2）對(duì)A、B碰撞過程動(dòng)量守恒有：
 mv_A=-mv′_A+Mv_B… ⑤
由③④⑤得：v_A=-

2μgL

+

M

m

5gR

…⑥
（3）對(duì)于系統(tǒng)從彈簧解鎖到AB碰撞前的過程，由能量守恒有：
   E_p=

1

2

m

v

2 A

+μmg（x₀+L）…⑦
由⑥⑦得：E_p=

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）
即彈簧被鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能為

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）．
答：
（1）碰后A、B的速度分別為

2μgL

和

5gR

．
（2）碰前A的速度是-

2μgL

+

M

m

5gR

．
（3）彈簧被鎖定時(shí)具有的彈性勢(shì)能為

1

2

m(

M

m

5gR

-

2μmgL

)2+μmg（x₀+L）．

點(diǎn)評(píng)：本題的過程較為復(fù)雜，關(guān)鍵要抓住B到達(dá)E點(diǎn)的臨界條件和碰撞過程的動(dòng)量守恒、系統(tǒng)的能量守恒進(jìn)行求解．