Question

18．如圖，將質(zhì)量為m的小鋼珠以某一初速度v₀從A點(diǎn)無(wú)撞擊地進(jìn)入兩$\frac{1}{4}$圓管組成的豎直細(xì)管道，經(jīng)最高點(diǎn)B水平射出后落到斜面上C點(diǎn)，兩圓心O、O′連線水平，O′為斜面的頂點(diǎn)，已知斜面與豎直線BO′夾角θ=60°，兩圓管的半徑均為R，O′C=R，重力加速度g，求
（1）鋼珠從B點(diǎn)到C點(diǎn)的平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間t；
（2）鋼珠在B處對(duì)管道的作用力大小N；
（3）鋼珠在管道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服阻力做的功W_f．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)幾何關(guān)系得到平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移，進(jìn)而由勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律及幾何關(guān)系由平拋運(yùn)動(dòng)的位移公式求得在B點(diǎn)的速度，然后通過(guò)牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；
（3）對(duì)鋼球在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解．

解答 解：（1）鋼珠從B點(diǎn)到C點(diǎn)的平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移為：$y=R+O′Ccosθ=\frac{3}{2}R$
故由平拋運(yùn)動(dòng)的豎直方向位移公式$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$可得運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=\sqrt{\frac{2y}{g}}=\sqrt{\frac{3R}{g}}$；
（2）鋼珠從B點(diǎn)到C點(diǎn)的平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為：$x=O′Csinθ=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
故平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為：${v}_{B}=\frac{x}{t}=\frac{1}{2}\sqrt{gR}$；
那么，鋼珠在B點(diǎn)所需向心力為：$F=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=\frac{1}{4}mg$
所以，對(duì)鋼珠進(jìn)行受力分析可得鋼珠在B處受到管道的支持力為：${F}_{N}=mg-F=\frac{3}{4}mg$；
故由牛頓第三定律可得：鋼珠在B處對(duì)管道的作用力大小為：$N={F}_{N}=\frac{3}{4}mg$；
（3）鋼珠在管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)只有重力和阻力做功，故由動(dòng)能定理可得鋼珠在管道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服阻力做的功為：
$W=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}-2mgR$=$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{17}{8}mgR$；
答：（1）鋼珠從B點(diǎn)到C點(diǎn)的平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為$\sqrt{\frac{3R}{g}}$；
（2）鋼珠在B處對(duì)管道的作用力大小N為$\frac{3}{4}mg$；
（3）鋼珠在管道運(yùn)動(dòng)過(guò)程中克服阻力做的功W_f為$\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{17}{8}mgR$．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．