Question

（2007?蘇州二模）如圖所示，一長為L的薄壁玻璃管放置在水平面上，在玻璃管的a端放置一個(gè)直徑比玻璃管直徑略小的小球，小球帶負(fù)電，電荷量為q、質(zhì)量為m．玻璃管右邊的空間存在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場．磁場的左邊界與玻璃管平行，右邊界足夠遠(yuǎn)．玻璃管和小球一起以水平速度v₀垂直于左邊界向右運(yùn)動(dòng)，由于外力的作用，玻璃管進(jìn)入磁場后速度保持不變，經(jīng)一段時(shí)間后小球從玻璃管凸端滑出．設(shè)運(yùn)動(dòng)過程中小球的電荷量保持不變，不計(jì)一切摩擦．求
（1）小球從玻璃管b端滑出時(shí)的速度；
（2）從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力所做的功W₁；
（3）從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程中，洛倫茲力對(duì)帶電小球所做的功W₂．

Answer 1

分析：（1）小球的運(yùn)動(dòng)分解為水平方向和豎直方向，如圖．在y軸方向，重力與電場力平衡，小球受到洛倫茲力向上的分力，大小F_y=qv₀B不變，則小球在y軸方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解．
（2）根據(jù)功能關(guān)系可知，從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力所做的功應(yīng)等于帶電小球動(dòng)能的增加量；
（3）小球所受洛倫茲力的方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以洛倫茲力不做功．

解答：解：（1）如圖所示，小球管中運(yùn)動(dòng)的加速度為：
 a=

Fy

m

=

Bqv0

m

…①
設(shè)小球運(yùn)動(dòng)至b端時(shí)的y方向速度分量為v_y，
則：vy2=2aL…②
又：v=

v02+vy2

…③
由①～③式，可解得小球運(yùn)動(dòng)至b端時(shí)速度大小為：
v=

v02+ 2Bqv0L m

設(shè)v的方向與v₀的方向夾角為θ，則
tanθ=

vy

v0

=

2BqL v0m

所以θ=arctan

2BqL v0m

（2）根據(jù)功能關(guān)系可知，從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力所做的功應(yīng)等于帶電小球動(dòng)能的增加量，即
W1=

1

2

m(v2-v02)
解得：W₁=BqLv₀
（3）從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程中，小球所受洛倫茲力的方向始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以洛倫茲力不做功，即
W₂=0
（1）小球從玻璃管b端滑出時(shí)的速度大小為

v02+ 2Bqv0L m

，與v₀的方向夾角為arctan

2BqL v0m

；
（2）從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程中，外力所做的功為BqLv₀為；
（3）從玻璃管進(jìn)入磁場至小球從b端滑出的過程中，洛倫茲力對(duì)帶電小球所做的功為為0．

點(diǎn)評(píng)：第二問中：水平方向上外力F與洛倫茲力水平方向分力平衡，也可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解求出v_y、小球在管中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和水平位移x，研究外力F與水平位移的關(guān)系，根據(jù)功的計(jì)算公式求解，難度適中．