Question

如圖所示，在一對以板長為2a、板間距離為

2

3

a的平行板圍成的矩形EFQP區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子從靜止開始經(jīng)過電勢差為U的電場加速后，從EF邊的中點小孔D處垂直于EF邊進(jìn)入磁場，不計重力和空氣阻力的影響．
（1）若粒子的軌道半徑為a，求磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（2）若改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁場中運(yùn)動的時間；
（3）若再次改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子與ED板多次碰撞后剛好擊中板端E點，試討論此種情況粒子在磁場中運(yùn)動的時間與碰撞次數(shù)的關(guān)系．（不計粒子與ED板碰撞的作用時間．設(shè)粒子與ED板碰撞前后，電量保持不變并以相同的速率反彈．）

Answer 1

分析：（1）粒子進(jìn)入磁場后由洛侖茲力提供向心力，通過動能定理即圓周運(yùn)動向心力公式即可求出B；
（2）通過對題目的分析作出粒子運(yùn)動的軌跡圖，根據(jù)數(shù)學(xué)知識可得到其運(yùn)動的軌跡半徑，通過周期公式及幾何關(guān)系即可求出粒子在磁場中運(yùn)動的時間；
（3）設(shè)粒子運(yùn)動圓周半徑為r，經(jīng)過n次碰撞，即經(jīng)過n個半圓運(yùn)動，最后一次打到E點，已知其運(yùn)動的周期，就可以求出粒子在磁場中運(yùn)動時間，就可以判斷時間與碰撞次數(shù)有無關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)粒子經(jīng)電場加速射入磁場時的速度為v，
由動能定理有：qU=

1

2

m v2  ①
又設(shè)當(dāng)粒子的軌道半徑為r₁=a時，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，由洛侖茲力提供向心力有：qvB=m

v2

r1

  ②
聯(lián)立①②式并代入已知量解得：B=

1

a

2mU q

 
（2）若粒子恰好未碰PQ板，則由題意和作圖知其軌道半徑為：
    r2=

2

3

a   ③
設(shè)粒子在磁場中運(yùn)動軌跡所對的圓心角為α，
由圖中幾何關(guān)系有：
    α=

π

2

+θ       ④
   sinθ=

a-r2

r2

     ⑤
而周期為：T=

2πr2

v

 ⑥
粒子在磁場中運(yùn)動時間為：t=

α

2π

? T ⑦
聯(lián)立①③④⑤⑥⑦式并解得：t=

4πa

9

m 2qU

    
（3）設(shè)粒子運(yùn)動圓周半徑為r，經(jīng)過n次碰撞，即經(jīng)過n個半圓運(yùn)動，最后一次打到E點．
有：n=

a

2r

 ⑧
圓周運(yùn)動周期：T=

2πr

v

     ⑨
粒子在磁場中運(yùn)動時間：tm=n

T

2

  ⑩
聯(lián)立①⑧⑨⑩式并解得：tm=

πa

2

m 2qU

  
顯然，此種情況粒子在磁場中運(yùn)動的時間與碰撞次數(shù)無關(guān)．
答：（1）若粒子的軌道半徑為a，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

1

a

2mU q

；（2）若改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子恰好未碰PQ板，求粒子在磁場中運(yùn)動的時間為

4πa

9

m 2qU

；（3）若再次改變磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，使粒子與ED板多次碰撞后剛好擊中板端E點，粒子在磁場中運(yùn)動的時間為

πa

2

m 2qU

與碰撞次數(shù)的無關(guān)．

點評：該題是帶電粒子在磁場中運(yùn)動的題型，要求同學(xué)們能畫出粒子運(yùn)動的軌跡并結(jié)合數(shù)學(xué)知識解題，還要注意粒子運(yùn)動的周期性，難度較大．