Question

1．一根豎直放置的圓柱形細(xì)桿上套有質(zhì)量m=1kg的一小圓環(huán)，小環(huán)的內(nèi)徑比細(xì)桿直徑略大，環(huán)與細(xì)桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，小環(huán)從離地面高L=2m的地方由靜止開始下落，g取10m/s²．
（1）求小環(huán)自由下落到細(xì)桿底端時(shí)的速度大��；
（2）若從小環(huán)靜止開始對小環(huán)施加一個(gè)水平向左的F₁=12N的恒力，求小環(huán)從細(xì)桿頂端下落到底端所需的時(shí)間；
（3）若從小環(huán)靜止開始對小環(huán)施加一水平力F₂，F(xiàn)₂與小環(huán)下落距離x成正比，即F₂=kx，小環(huán)恰能運(yùn)動(dòng)到細(xì)桿底端，求k．

Answer 1

分析 （1）小環(huán)自由下落到細(xì)桿底端時(shí)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求速度．
（2）對小環(huán)施加一個(gè)水平向左的F₁=12N的恒力時(shí)，先根據(jù)牛頓第二定律求出環(huán)的加速度，再由位移公式求時(shí)間．
（3）當(dāng)F₂=kx時(shí)，小環(huán)所受的滑動(dòng)摩擦力均勻增大，根據(jù)摩擦力平均值求出摩擦力做的功，再由動(dòng)能定理列式，可求解k．

解答 解：（1）小環(huán)自由下落到細(xì)桿底端時(shí)，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
v²=2gL
得：v=$\sqrt{2gL}$=$\sqrt{2×10×2}$=2$\sqrt{10}$m/s
（2）對小環(huán)施加一個(gè)水平向左的F₁=12N的恒力時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律得環(huán)的加速度為：
a=$\frac{mg-μ{F}_{1}}{m}$=g-$\frac{μ{F}_{1}}{m}$=10-$\frac{0.5×12}{1}$=4m/s²．
由L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$得：t=$\sqrt{\frac{2L}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×2}{4}}$=1s．
（3）當(dāng)F₂=kx時(shí)，小環(huán)所受的滑動(dòng)摩擦力為 f=μF₂=μkx，可知f隨x均勻增大，摩擦力對小環(huán)做功為：
W_f=-$\overline{f}$L=-$\frac{0+μkL}{2}$L=-$\frac{μk{L}^{2}}{2}$
根據(jù)動(dòng)能定理得：mgL+W_f=0
聯(lián)立解得：k=20
答：（1）小環(huán)自由下落到細(xì)桿底端時(shí)的速度大小是2$\sqrt{10}$m/s；
（2）小環(huán)從細(xì)桿頂端下落到底端所需的時(shí)間是1s；
（3）k為20．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要正確分析小球的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況，知道摩擦力隨位移均勻變化時(shí)，要根據(jù)摩擦力平均值來求摩擦力做的功．