Question

（18分）如圖所示，以A、B和C、D為斷點(diǎn)的兩半圓形光滑軌道固定于豎直平面內(nèi)，一滑板靜止在光滑的地面上，左端緊靠B點(diǎn)，上表面所在平面與兩半圓分別相切于B、C兩點(diǎn)，一物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）被輕放在水平勻速運(yùn)動的傳送帶上E點(diǎn)，運(yùn)動到A點(diǎn)時剛好與傳送帶速度相同，然后經(jīng)A點(diǎn)沿半圓軌道滑下，再經(jīng)B點(diǎn)滑上滑板，滑板運(yùn)動到C點(diǎn)時被牢固粘連。物塊可視為質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)量為m,滑板質(zhì)量為M=2m，兩半圓半徑均為R,板長l=6.5R,板右端到C點(diǎn)的距離L在R<L<5R范圍內(nèi)取值，E點(diǎn)距A點(diǎn)的距離s=5R，物塊與傳送帶、物塊與滑板間的動摩擦因數(shù)均為，重力加速度g已知。

(1)求物塊滑到B點(diǎn)的速度大小;
(2)求物塊滑到B點(diǎn)時所受半圓軌道的支持力的大小;
(3)試討論物塊從滑上滑板到離開右端的過程中，克服摩擦力做的功與L的關(guān)系;并判斷物塊能否滑到CD軌道的中點(diǎn)。

Answer 1

（1）（2）10mg
（3）?當(dāng)R<L<2R時，；
?當(dāng)2R≤L<5R時,；
不能滑到CD軌道中點(diǎn)。

（1）設(shè)物塊滑到B點(diǎn)的速度大小為u_B,對物體從E到B過程，
根據(jù)動能定理得
解得：
（2）物塊在B點(diǎn)時，根據(jù)牛頓第二定律午
解得：
（3）物塊從B滑上滑板后開始作勻減速運(yùn)動，此時滑板開始作勻加速直線運(yùn)動，當(dāng)物塊與滑板達(dá)共同速度時，二者開始作勻速運(yùn)動。
由動量定理
它們的共同速度為
此過程，對物塊據(jù)動能定理得
解得s₁=8R
此過程，對滑板據(jù)動能定理得
解得s₂=2R
由此可知物塊在滑板上滑過s₁－s₂=6R時，二者就具有共同速度了。因為6R<6.5R,所以物塊并沒有從滑板上滑下去
討論：
?當(dāng)R<L<2R時，物塊在滑板上一直勻減速運(yùn)動至C，運(yùn)動的位移為6.5R+L，克服摩擦力做的功
設(shè)滑上C點(diǎn)的速度為，對物塊根據(jù)動能定理得

解得，所以物塊不可能滑到CD軌道的中點(diǎn)
?當(dāng)2R≤L<5R時，物塊的運(yùn)動的勻減速運(yùn)動8R，勻速運(yùn)動L-2R，再勻減速運(yùn)動0.5R，克服摩擦力做的功
解得，所以物塊不能滑到CD軌道的中點(diǎn)
（也可以由可看出只要物塊與滑板達(dá)到共同速度，就不能滑到CD軌道的中點(diǎn)）
（事實上由，看出只要摩擦力做功的位移超過7R，物塊就不能沖到CD軌道的中點(diǎn)。由S₁=8R>7R知道達(dá)到共同速度必然沖不到CD軌道中點(diǎn);而由已知6.5R+L>7.5R>7R即若不能達(dá)到共同速度，同樣沖不到CD軌道中點(diǎn)。）