Question

4．如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點(diǎn)，自然狀態(tài)時(shí)其右端位于B點(diǎn)．水平桌面右側(cè)某一位置有一豎直放置的、左上角有一開(kāi)口的光滑圓弧軌道MNP，其半徑為R=0.5m，∠PON=53°，MN為其豎直直徑，P點(diǎn)到桌面的豎直距離是h=0.8m．如用質(zhì)量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊恰停止在桌面邊緣D點(diǎn)．現(xiàn)換用同種材料制成的質(zhì)量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點(diǎn)，釋放后物塊能飛離桌面并恰好由P點(diǎn)沿切線(xiàn)滑入光滑圓軌道MNP（g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．

（1）求物體m₂運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)受到軌道的壓力；
（2）求彈簧的彈性勢(shì)能E_P；
（3）如圓弧軌道的位置以及∠PON可任意調(diào)節(jié)，使從C點(diǎn)釋放又從D點(diǎn)滑出的質(zhì)量為m=km₁物塊都能由P點(diǎn)沿切線(xiàn)滑入圓弧軌道，并且還能通過(guò)最高點(diǎn)M，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)求解D點(diǎn)的速度，再由功能關(guān)系和牛頓第二定律解物體m₂運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)受到軌道的壓力；
（2）根據(jù)功能關(guān)系求彈簧的彈性勢(shì)能；
（3）由功能關(guān)系和牛頓第二定律相結(jié)合可求k的取值范圍．

解答 解：（1）設(shè)物塊塊由D點(diǎn)以初速度v_D做平拋，落到P點(diǎn)時(shí)其豎直速度為：v_y=$\sqrt{2gh}$=4m/s                                   
由速度合成可得：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan53°，
代入數(shù)據(jù)解得：v_D=3m/s                  
若物塊到達(dá)M點(diǎn)速度為v_M，則：v_P=$\sqrt{{v}_{D}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
由功能關(guān)系得：$\frac{1}{2}$m₂v_M²+mg•1.6R=$\frac{1}{2}$m₂v_P²
代入數(shù)據(jù)解得：v_M=3m/s             
軌道對(duì)物塊的壓力為F_N，則F_N+m₂g=m₂$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
代入數(shù)據(jù)解得：F_N=1.6N    
（2）設(shè)彈簧長(zhǎng)為AC時(shí)的彈性勢(shì)能為E_P，物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，
釋放m₁時(shí)，E_P=μm₁gS_CD                           
釋放m₂時(shí)，E_P-μm₂gS_CD=$\frac{1}{2}$m₂v_D²
所以彈簧的彈性勢(shì)能為：E_P=m₂v_D²                                          
（3）設(shè)質(zhì)量為km₁的物塊，到M點(diǎn)的最小速度為v，
由牛頓第二定律得：km₁g=km₁$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=$\sqrt{gR}$
根據(jù)功能關(guān)系有：E_P-μkm₁gS_CD=$\frac{1}{2}$km₁v_D²，
又：v_D≥$\sqrt{gR}$                                                 
所以有：E_P（1-k）≥$\frac{1}{2}$km₁gR                                         
代入可得：1.8（1-k）≥k
解得：0＜k≤$\frac{9}{14}$．
答：（1）物體運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)時(shí)受到軌道的壓力為1.6N；
（2）彈簧的彈性勢(shì)能為m₂v_D²；
（3）k的取值范圍為0＜k≤$\frac{9}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 該題考查動(dòng)能定理的應(yīng)用，設(shè)計(jì)的過(guò)程比較多，此題注意分析運(yùn)動(dòng)過(guò)程，找清各物理量之間的關(guān)系，然后根據(jù)各運(yùn)動(dòng)過(guò)程運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答即可．