Question

7．要求摩托車由靜止開始在盡量短的時間內走完一段直道，然后駛入一段半圓形的彎道，但在彎道上行駛時車速不能太快，以免因離心作用而偏出車道．求摩托車在直道上行駛所用的最短時間．有關數(shù)據(jù)見表格．

啟動加速度a1	4m/s2
制動加速度a2	8m/s2
直道最大速度v1	40m/s
彎道最大速度v2	20m/s
直道長度s	285m

某同學是這樣解的：要使摩托車所用時間最短，應先由靜止加速到最大速度v₁=40m/s，然后再減速到v₂=20m/s，t₁=$\frac{v_1}{a_1}$=…；t₂=$\frac{{{v_1}-{v_2}}}{a_2}$=…；t=t₁+t₂，你認為這位同學的解法是否合理？若合理，請完成計算；若不合理，請說明理由，并用你自己的方法算出正確結果．

Answer 1

分析 為了能夠盡快走完直道，則需要先加速到最大速度，然后勻速一段距離，最后減速到最大速度進①入彎曲軌道．

解答 解：假設不合理．
由靜止加速到最大速度v₁，設加速的時間為t₁，根據(jù)勻變速直線運動的速度時間關系：v=v₀+at可知：
${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{40}{4}s=10s$     ①
在這段加速的時間內，設位移為x₁，根據(jù)位移公式${v}_{1}^{2}=2a{x}_{1}$可知：
${x}_{1}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}=\frac{{40}^{2}}{2×4}m=200m$       ②
設在經(jīng)過t₂后減速到v₂=20 m/s，根據(jù)勻變速直線運動的速度時間關系：v=v₀+at可知：
${t}_{2}=\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{{a}_{2}}=\frac{20-40}{-8}s=2.5s$ 　�、�
在這段減速的時間內，設位移為x₂，根據(jù)位移公式${v}_{2}^{2}{-v}_{1}^{2}=2{a}_{2}{x}_{2}$可知：
運動位移${x}_{2}=\frac{{v}_{2}^{2}{-v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}=\frac{2{0}^{2}-4{0}^{2}}{2×（-8）}=75m$　　④
由于x₁+x₂=275m＜285m，所以不合理．
因此，加速運動與減速運動之間還有一段勻速運動，設勻速直線運動時間為t₃，根據(jù)x=vt₃可知：
${t}_{3}=\frac{x}{{v}_{3}}=\frac{285-275}{40}s=0.25s$    ⑤
正確結果為t=t₁+t₂+t₃=12.75s　
答：摩托車在直道上行駛所用的最短時間為12.75s

點評 本題需要通過v-t圖象先判斷出達到最小時間的物理過程．