Question

10．如圖所示，半徑R=2.8m的光滑半圓軌道BC與傾角θ=37°的粗糙斜面軌道在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道間由一條光滑水平軌道AB相連，A處用光滑小圓弧軌道平滑連接，B處與圓軌道相切．在水平軌道上，兩靜止小球P，Q壓緊輕質(zhì)彈簧后用細線連在一起．某時刻剪斷細線后，小球P向左運動到A點時，小球Q沿圓軌道到達C點；之后小球Q落到斜面上時恰好與沿斜面向下運動的小球P發(fā)生碰撞．已知小球P的質(zhì)量m_l=3.2kg，小球Q的質(zhì)量m₂=1kg，小球P與斜面間的動摩擦因數(shù)μ=0.5，剪斷細線前彈簧的彈性勢能E_P=168J，小球到達A點或B點時已和彈簧分離．重力加速度g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）小球Q運動到C點時的速度；
（2）小球P沿斜面上升的最大高度h；
（3）小球Q離開圓軌道后經(jīng)過多長時間與小球P相碰．

Answer 1

分析 （1）對于彈簧彈出兩球的過程，運用動量守恒定律和機械能守恒定律列式，求出兩球獲得的速度．再對Q，運用動能定理求小球Q運動到C點時的速度；
（2）Q球離開C點做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律以及幾何關系得到兩球的位移關系，求出平拋運動的時間，從而求得Q球的高度，即可求得P球沿斜面上升的最大高度h；
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出小球P沿斜面運動的加速度，由速度公式求得P上升到最高點的時間，由位移公式列式求解．

解答 解：（1）兩球被彈開的過程，取向左為正方向，由動量守恒定律得：
   m_lv_l-m₂v₂=0
由能量守恒定律得 E_P=$\frac{1}{2}$m_lv_l²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²．
解得 v_l=5m/s，v₂=16m/s
Q球從B運動到C點的過程，由動能定理得
-2m₂gR=$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}{m}_{2}{v}_{2}^{2}$
解得小球Q運動到C點時的速度 v_C=12m/s
（2）設小球P在斜面上向上運動的加速度為a₁．
根據(jù)牛頓第二定律得
    mgsinθ+μmgcosθ=ma₁．
解得 a₁=10m/s²．
故上升的最大高度為 h=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{a}_{1}}$sinθ=$\frac{{5}^{2}}{2×10}$×0.6m=0.75m
（3）設兩小球相遇點距離A點為x，從A點上升到兩小球相遇時間為t，小球P沿斜面下滑的加速度為a₂．
由mgsinθ-μmgcosθ=ma₂得
解得 a₂=2m/s²．
小球P上升到最高點的時間 t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=0.5s
據(jù)題得 2R-$\frac{1}{2}g{t}^{2}$=h-$\frac{1}{2}{a}_{2}（t-{t}_{1}）^{2}$sin37°
解得 t=1s
答：
（1）小球Q運動到C點時的速度為12m/s；
（2）小球P沿斜面上升的最大高度h是0.75m；
（3）小球Q離開圓軌道后經(jīng)過1s時間與小球P相碰．

點評 本題首先要理清物體的運動過程，抓住每個過程的物理規(guī)律，找出兩車之間的關系，結(jié)合幾何知識求解．