Question

20．某傳送帶裝置在豎直平面內(nèi)的橫截面如圖所示，ab段水平，bcd段為$\frac{1}{2}$圓周．傳送帶在電機(jī)的帶動下以恒定速率ν=4m/s 運(yùn)動，在傳送帶的左端點(diǎn)a無初速地投放質(zhì)量m=1kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)?shù)谝粋�(gè)物塊A 到達(dá)b 點(diǎn)時(shí)即刻在a 點(diǎn)投放另一相同的物塊 B．物塊到達(dá)b 點(diǎn)時(shí)都恰好與傳送帶等速，此后能確保物塊與傳送帶相對靜止地通過bcd段．物塊到達(dá)最高點(diǎn)d 時(shí)與傳送帶間的彈力大小恰等于其重力．在d端點(diǎn)的左方另有一平直軌道ef，軌道上靜止停放著質(zhì)量M=1kg的木板，從d點(diǎn)出來的物塊恰能水平進(jìn)入木板上表面的最右端，木板足夠長．已知：
物塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.8，與木板間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2；木板與軌道間的動摩擦因數(shù)μ₃=0.1；設(shè)最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s²．試求：
（1）每個(gè)物塊在傳送帶abcd上運(yùn)行的時(shí)間；
（2）傳輸A物塊，電機(jī)所需提供的能量（不計(jì)傳動機(jī)構(gòu)的其他能量損耗）；
（3）木板運(yùn)動的總時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）對A進(jìn)行受力分析得到合外力，進(jìn)而由牛頓第二定律求得加速度，即可得到物體在ab上的運(yùn)動時(shí)間；然后對物體在d點(diǎn)應(yīng)用牛頓第二定律即可求得半圓軌道半徑，從而得到運(yùn)動時(shí)間；
（2）對傳送A物體過程應(yīng)用能量守恒定律，即可求解；
（3）將A物塊在木板上運(yùn)動和A、B一起在木板上運(yùn)動，按A、B和木板速度關(guān)系進(jìn)行劃分，然后對各物體進(jìn)行受力分析，求得加速度，即可由勻變速規(guī)律求得運(yùn)動時(shí)間．

解答 解：（1）物體在ab上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，物體所受合外力為f=μ₁mg，所以，加速度$a={μ}_{1}g=8m/{s}^{2}$，所以，運(yùn)動時(shí)間${t}_{1}=\frac{v}{a}=0.5s$；
物塊到達(dá)最高點(diǎn)d 時(shí)與傳送帶間的彈力大小恰等于其重力，故由牛頓第二定律可得：$mg+mg=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{{v}^{2}}{2g}=0.8m$，那么，物體在半圓軌道上的運(yùn)動時(shí)間${t}_{2}=\frac{πR}{v}=0.2π（s）$；
故每個(gè)物塊在傳送帶abcd上運(yùn)行的時(shí)間t=t₁+t₂=0.5+0.2π（s）；
（2）由能量守恒定律可知：傳輸A物塊，電機(jī)所需提供的能量等于物塊A的機(jī)械能和克服摩擦力做功之和，
故$Q=\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR+fs$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+2mgR+{μ}_{1}mg×（v{t}_{1}-\frac{1}{2}a{{t}_{1}}^{2}）$=$\frac{1}{2}×1×{4}^{2}+2×1×10×0.8+0.8×1×10×（4$×$0.5-\frac{1}{2}×8×0．{5}^{2}）（J）$=32J；
（3）A物體滑上木板時(shí)速度為v=4m/s，A物體和木板有相對運(yùn)動，故A物體受到向右的合外力為f₁=μ₂mg=2N，物體做加速度為2m/s²的勻減速運(yùn)動；
木板和軌道間的最大靜摩擦力f₂=μ₃（m+M）g=2N，故木板保持靜止不動；
經(jīng)過t₃=0.5s后，A物體的速度減為3m/s，B物體滑上木板，A、B受到的合外力仍為滑動摩擦力f₁=2N，方向向右，都做加速度為2m/s²的勻減速運(yùn)動；
木板和軌道間的最大靜摩擦力f₃=μ₃（2m+M）g=3N，木板受到的合外力F=2f₁-f₃=1N，方向向左，木板做加速度為1m/s²的勻加速運(yùn)動；
當(dāng)又經(jīng)過t₄=1s后，A速度為1m/s，B速度為2m/s，木板速度為1m/s；
之后，物體A和物體B保持相對靜止，B的速度大于木板的速度，故B受到合外力為f₁=2N，方向向右，物體B做加速度為2m/s²的勻減速運(yùn)動；
木板和物體A保持相對靜止，將木板和物體A當(dāng)成一個(gè)整體，合外力為f₃-f₁=1N，方向向右，故木板和物體A做加速度為0.5m/s²的勻減速直線運(yùn)動；
經(jīng)過時(shí)間${t}_{5}=\frac{2}{3}s$后，A、B、木板的速度都為$\frac{2}{3}m/s$；
之后，三物體保持相對靜止，合外力為f₃，故三物體一起做加速度為1m/s²的勻減速運(yùn)動，運(yùn)動${t}_{6}=\frac{2}{3}s$后，物體速度為零；
故木板運(yùn)動的總時(shí)間$t′={t}_{4}+{t}_{5}+{t}_{6}=\frac{7}{3}s$；
答：（1）每個(gè)物塊在傳送帶abcd上運(yùn)行的時(shí)間為0.5+0.2π（s）；
（2）傳輸A物塊，電機(jī)所需提供的能量（不計(jì)傳動機(jī)構(gòu)的其他能量損耗）為32J；
（3）木板運(yùn)動的總時(shí)間為$\frac{7}{3}s$．

點(diǎn)評 物體的運(yùn)動學(xué)問題，一般先對物體進(jìn)行受力分析求得合外力，然后應(yīng)用牛頓第二定律求得加速度，即可由運(yùn)動學(xué)規(guī)律求解．