Question

17．某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓．每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖所示．下列分析正確的是（　�。�

• A． 太陽對該行星的引力小于太陽對地球的引力
• B． 行星、地球、太陽三者共線的時間間隔為0.5N年
• C． 該行星的公轉(zhuǎn)周期為$\frac{N}{N-1}$年
• D． 該行星和地球的線速度之比為${（{\frac{N-1}{N}}）^{\frac{1}{3}}}$

Answer 1

分析 由萬有引力做向心力得到周期與半徑的關系，進而求得行星的周期；并由萬有引力與行星質(zhì)量相關得到兩引力大小無法判斷；再由三星共線的條件得到時間間隔；最后先求取速度與周期的表達式，進而得到兩線速度之比．

解答 解：C、星體（設質(zhì)量為m）繞太陽（設質(zhì)量為M）做圓周運動，萬有引力在向心力，則有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}=m（\frac{2π}{T}）^{2}R$，所以，${T}^{2}=\frac{4{π}^{2}}{GM}{R}^{3}$；所以，半徑越大，周期越大；
又有每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，地球的公轉(zhuǎn)周期為1年，設該行星的公轉(zhuǎn)周期為T（年），則有：N=（N-1）T，所以，$T=\frac{N}{N-1}$（年），故C正確；
A、現(xiàn)只知公轉(zhuǎn)周期，由C可知，求解周期時，星體質(zhì)量不影響星體的運動，而萬有引力與星體質(zhì)量m成正比，故無法判斷太陽對該行星的引力和太陽對地球的引力那個大，故A錯誤；
B、要使行星、地球、太陽三者共線，則只需地球比行星多轉(zhuǎn)半個圓即可，設行星、地球、太陽三者共線的時間間隔為k年，則有：$k-\frac{k}{T}=0.5$，所以，$k=\frac{0.5}{1-\frac{1}{T}}=\frac{0.5}{\frac{1}{N}}=0.5N$，故B正確；
D、由C可知，行星繞太陽運動的半徑$R=（\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}）^{\frac{1}{3}}$，那么，行星的線速度$v=\frac{2πR}{T}=（\frac{2πGM}{T}）^{\frac{1}{3}}$；所以，該行星和地球的線速度之比為$\frac{1}{{T}^{\frac{1}{3}}}=（\frac{N-1}{N}）^{\frac{1}{3}}$，故D正確；
故選：BCD．

點評 天體運動中，一般由萬有引力做向心力，根據(jù)題目給出的物理量得到要求的物理量．在求解的過程中，要把其他變量都轉(zhuǎn)化成已知量．