Question

4．己知地球和月球的質(zhì)量分別為M和m，半徑分別為R和r．則在地球表面和月球表面的重力加速度之比為$\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$，地球和月球的第一宇宙速度之比為$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于重力表示出g，再求出比值；第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，也是最大的圓周運動的環(huán)繞速度．

解答 解：根據(jù)萬有引力等于重力，有$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$
解得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}$
$\frac{{g}_{地}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}=\frac{G\frac{M}{{R}_{\;}^{2}}}{G\frac{m}{{r}_{\;}^{2}}}=\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$
第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，即$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$
$\frac{{v}_{地}^{\;}}{{v}_{月}^{\;}}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{Gm}{r}}}$=$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$
故答案為：$\frac{M{r}_{\;}^{2}}{m{R}_{\;}^{2}}$，$\sqrt{\frac{Mr}{mR}}$

點評 解決本題的關鍵是知道第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，在任意一個星球表面物體重力等于萬有引力即可求解星球表面的重力加速度．