Question

9．如圖所示的直角坐標(biāo)系中有三塊場區(qū)，其中第一、四象限內(nèi)有寬度d未知的勻強(qiáng)電場，其場強(qiáng)大小為E，y軸是其左邊界，場強(qiáng)方向沿x軸負(fù)向．第二象限有一個(gè)場強(qiáng)也為E，方向沿y軸負(fù)向的電場區(qū)域．第三象限有一個(gè)面積未知的矩形交變勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=8T，每當(dāng)電荷進(jìn)入磁場區(qū)域后磁場方向不變，待下一次再進(jìn)入此磁場區(qū)域時(shí)磁場方向恰好相反．現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量m=2×10^-4kg，電荷量為q=+1×10^-4C的點(diǎn)電荷，以v₀=2m/s的初速度從點(diǎn)P（0，$\sqrt{3}$）沿垂直y軸方向射入第二象限的電場中，接著從點(diǎn)Q（-2，0）進(jìn)入第三象限，穿過矩形磁場區(qū)域后垂直y軸進(jìn)入第四象限的有界電場中，此后電荷在此空間中周期性運(yùn)動(dòng)．若不計(jì)電荷的重力，試求：
（1）電場強(qiáng)度E的大��；
（2）第一、四象限中有界電場的最小寬度d和第三象限內(nèi)矩形交變勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積；
（3）電荷在此空間中運(yùn)動(dòng)的最小周期．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成和分解，然后針對(duì)分運(yùn)動(dòng)運(yùn)用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律解決即可；
（2）確定d最小的條件為：運(yùn)動(dòng)到電場邊界時(shí)速度恰減為零，帶電粒子在有界磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過作圖，利用幾何關(guān)系分析找出矩形磁場區(qū)域的最小面積；
（3）分別求每一過程的時(shí)間，加和即可．

解答 解：（1）電荷從P點(diǎn)射出后在第二象限做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)出電場時(shí)速度為v，v與x軸負(fù)向的夾角為θ，
因過點(diǎn)Q，根據(jù)類平拋規(guī)律有：Eq=ma，${y_P}=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}t_1^2，\;{x_Q}={v_0}{t_1}，\;tanθ=\frac{{Eq{t_1}}}{{m{v_0}}}，\;vcosθ={v_0}$
解得：θ=60°，t₁=1s，v=4m/s，E=4$\sqrt{3}$N/C，
（2）作速度v的延長線，過Q點(diǎn)做其垂線，在其上取一點(diǎn)O₁，以O(shè)₁為心，以O(shè)₁Q為半徑作圓即為粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，
如圖所示．設(shè)軌道半徑為R，由洛倫茲力提供向心力：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
代入數(shù)據(jù)得：R=1m，即圖中O₁Q=1m

在圓中作出與y軸平行的半徑O₁F，過F點(diǎn)作軌跡圓的切線，交速度為的延長線于C點(diǎn)，交軸于G點(diǎn)，連接CO₁交軌跡圓于D點(diǎn)，
如圖所示，軌跡圓弧QDF所在矩形區(qū)域即為所求的最小面積，
由幾何關(guān)系知∠QO₁D=θ=60°，所以磁場區(qū)域的面積：
S=2Rsinθ•（R-Rcosθ），
代入數(shù)據(jù)得：$S=\frac{{\sqrt{3}}}{2}{m^2}$
由于洛倫茲力不做功，故電荷以v=4 m/s進(jìn)入電場中做類上拋運(yùn)動(dòng)，欲使電荷能周期性運(yùn)動(dòng)，需運(yùn)動(dòng)到電場邊界H點(diǎn)時(shí)速度恰減為零，
故有：$\frac{1}{2}m{v^2}=Eqd$，
代入數(shù)據(jù)解得：$d=\frac{4}{3}\sqrt{3}m$
（3）電荷進(jìn)入第三象限后立即進(jìn)入磁場區(qū)域?qū)��?yīng)的周期最短．其中類平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=1s，
電荷在磁場中轉(zhuǎn)過120°圓心角對(duì)應(yīng)的時(shí)間為：${t_2}=\frac{T}{3}=\frac{2πm}{2qB}$，
得：${t_2}=\frac{π}{6}s$
電荷從F到G勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間滿足：x_Q-Rsinθ=vt₃，
得：${t_3}=\frac{{4-\sqrt{3}}}{8}s$
電荷從G到H的時(shí)間滿足：$d=\frac{v}{2}{t_4}$，
得：${t_4}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}s$
返回時(shí)在QP段的運(yùn)動(dòng)，逆向分析就是類平拋運(yùn)動(dòng)，時(shí)間與類平拋一樣仍為t₁，
電荷從P到A類上拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間滿足：${v_0}=\frac{Eq}{m}{t_5}$，
得：${t_5}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}s$
所以電荷周期性運(yùn)動(dòng)的周期為：t=2（t₁+t₂+t₃+t₄+t₅），
解得：$t=（3+\frac{π}{3}+\frac{{7\sqrt{3}}}{4}）s$
答：（1）電場強(qiáng)度E的大小為4$\sqrt{3}$N/C；
（2）第一、四象限中有界電場的最小寬度d為$\frac{4}{3}\sqrt{3}m$，第三象限內(nèi)矩形交變勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積為$\frac{\sqrt{3}}{2}{m}^{2}$；
（3）電荷在此空間中運(yùn)動(dòng)的最小周期為$（3+\frac{π}{3}+\frac{7\sqrt{3}}{4}）s$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查：帶電粒子在電場中的運(yùn)動(dòng)、帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)；解決第二問的關(guān)鍵是作圖，然后分析其中幾何關(guān)系，從而確定第三象限內(nèi)矩形交變勻強(qiáng)磁場區(qū)域的最小面積，再根據(jù)粒子能做周期性運(yùn)動(dòng)，確定d最小的條件，即：運(yùn)動(dòng)到電場邊界時(shí)速度恰減為零；第三問根據(jù)每一段的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，分別求每段的時(shí)間即可，在分析從Q返回P的過程中運(yùn)用了逆向思維．