Question

光滑的

1

4

圓弧軌道固定在豎直平面內(nèi)，與水平軌道CE連接．水平軌道的CD段光滑、DE段粗糙．一根輕質(zhì)彈簧一端固定在C處的豎直面上，另一端與質(zhì)量為2m的物塊b剛好在D點(diǎn)接觸（不連接），彈簧處于自然長(zhǎng)度．將質(zhì)量為m的物塊a從頂端F點(diǎn)靜止釋放后，沿圓弧軌道下滑．物塊a與物塊b第一次碰撞后一起向左壓縮彈簧．已知圓弧軌道半徑為r，

.

DE

=l，物塊a、b與DE段水平物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ₁=0.2和μ₂=0.4，C，D段水平面光滑，重力加速度為g．物塊a、b均可視為質(zhì)點(diǎn)．求：
（1）物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度是多少？
（2）物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力？
（3）彈簧形變過程中，所能獲得的最大彈性勢(shì)能是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）物塊a經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道的支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力．
（3）物塊a從E滑至D的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理求出經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)速度，由動(dòng)量守恒定律求出a、b一起壓縮彈簧時(shí)的速度，當(dāng)兩滑塊的速度減小為零時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性，由能量守恒定律求解最大的彈性勢(shì)能．

解答：解：（1）物塊a由F到E的過程中，由機(jī)械能守恒有
  mgr=

1

2

m

v

2 1

解得，第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度 v1=

2gr

（2）物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)，受重力和支持力，由牛頓第二定律得
   N-mg=m

v 2 1

r

解得，N=3mg
根據(jù)牛頓第三定律得，物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力大小為3mg，方向豎直向下．
（3）物塊a從E滑至D的過程中，根據(jù)動(dòng)能定理得
-μ₁mgl=

1

2

m

v

2 D1

-

1

2

m

v

2 1

解得，物塊a在D點(diǎn)時(shí)的速度為v_D1=

2g(r-0.2l)

物塊a、b在D點(diǎn)發(fā)生碰撞，則根據(jù)動(dòng)量守恒有
  mv_D1=3mv_D2
則得，v_D2=

2g(r-0.2l)

3

當(dāng)兩滑塊的速度減為零時(shí)，其動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能，彈性勢(shì)能最大，則有
  E_pmax=

1

2

?3m

v

2 D2

解得，E_pmax=

mg(r-0.2l)

3

答：（1）物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)的速度是

2gr

；
（2）物塊a第一次經(jīng)過E點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是3mg；
（3）彈簧形變過程中，所能獲得的最大彈性勢(shì)能是

mg(r-0.2l)

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律和動(dòng)能定理，對(duì)學(xué)生能力的要求較高．要注意本題中含有非彈性碰撞，彈簧彈性最大值不等于碰撞前物塊a的動(dòng)能．