Question

高h(yuǎn)=5m的平臺(tái)上有一個(gè)質(zhì)量m=1kg的小球以初速度v₀沿水平方向拋出，另一側(cè)是一個(gè)截面為拋物線的坡面．如圖所示，若以平臺(tái)右側(cè)底端的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系Oxy，坡面的方程為y=

1

5

x²（單位：m），取g=10m/s²
（1）若小球的初速度v₀=

2

m/s，求小球從拋出到落到坡面的時(shí)間；
（2）若要使小球落到坡面的動(dòng)能最小，則v₀應(yīng)為多少．

Answer 1

分析：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求出其水平與豎直位移，然后根據(jù)坡面方程求出小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）由動(dòng)能定理求出小球落地是的動(dòng)能表達(dá)式，然后求出小球動(dòng)能最小時(shí)的初速度．

解答：解：（1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)，
水平方向：x=v₀t    ①，
豎直方向：H=

1

2

gt²  ②，
根據(jù)幾何關(guān)系有：y=h-H
坡面的方程為：y=

1

5

x²，
即：h-

1

2

gt²=

1

5

x²   ③
由①②③可解得：y=

2h v 2 0

5g+2 v 2 0

  ④，
小球的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：
t=

10h 2 v 2 0 +5g

=

10×5 2×( 2 )2+5×10

=

5 3

9

s；
（2）由動(dòng)能定理得：mgy=

1

2

mv²-

1

2

mv₀² ⑤，
由④⑤解得，末動(dòng)能：E_K=

1

2

mv²=

2mgh v 2 0

5g+2 v 2 0

+

1

2

mv₀²，
設(shè)v₀²=ng，則E_K=mg（

10n

5+2n

+

1

2

n），當(dāng)n=7.5，
即v₀²=ng=7.5×10=75，v₀=5

3

m/s時(shí)，小球的動(dòng)能最小；
答：（1）若小球的初速度v₀=

2

m/s，小球從拋出到落到坡面的時(shí)間為

5 3

9

s；
（2）若要使小球落到坡面的動(dòng)能最小，則v₀應(yīng)為5

3

m/s．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平拋運(yùn)動(dòng)和動(dòng)能定理的應(yīng)用，以及函數(shù)最值的計(jì)算，意在考查考生的綜合分析及數(shù)學(xué)計(jì)算能力．