Question

如圖所示，BCD是光滑絕緣的、豎直固定的半徑r=2.0m的圓軌道的一部分，CD為豎直直徑，僅在BC間有方向豎直向下、高度足夠高的勻強(qiáng)電場(chǎng)E，∠BOC=θ=53°．當(dāng)一質(zhì)量m=0.5kg的帶電小球（可看成質(zhì)點(diǎn)）P從距水平面AB高為h的地方以v₀=7.2m/s的初速度水平拋出恰能無碰撞的從B點(diǎn)進(jìn)入圓軌道，并從D點(diǎn)離開圓軌道，取g=10m/s²．已知：sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）試求：小球從B點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度大小v_B；
（2）若小球沿BC軌道的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)．試問：
①小球剛到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力�?br>②小球離開D點(diǎn)再經(jīng)多長(zhǎng)的時(shí)間到達(dá)水平面AB？

Answer 1

設(shè)帶電小球所帶電量為q，小球到達(dá)B點(diǎn)的速度為V_B，小球剛到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，小球的速度為v_D，軌道對(duì)小球的壓力為F，勻強(qiáng)電場(chǎng)的寬度為d，帶電小球過D點(diǎn)進(jìn)入有界電場(chǎng)的時(shí)間為t₁；從D點(diǎn)經(jīng)過電場(chǎng)后，平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，小球離開D點(diǎn)到達(dá)水平面AB的時(shí)間為t．
（1）、帶電小球水平拋出恰能無碰撞的從B點(diǎn)進(jìn)入圓軌道，即帶電小球在B點(diǎn)的速度與OB垂直，由平拋運(yùn)動(dòng)在B點(diǎn)的速度分解公式可得：
V_B=

v0

cos530

=

7.2m/s

0.6

=12m/s…①
（2）、小球沿BC軌道的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，在B到C中重力和電場(chǎng)力是一對(duì)平衡力，B到C過程，無力做功．
以B到D為研究過程，彈力不做功，無摩擦力，
由動(dòng)能定理得：-mg2r=

1

2

mv_D² -

1

2

mv_B²…②
以帶電小球在D點(diǎn)為研究對(duì)象，有牛頓第二定律得：
mg+F=

mv 2D

r

…③
聯(lián)立①②③解之得：F=11N
根據(jù)牛頓第三定律得：小球?qū)�軌道的壓力�?1N，方向豎直向上．
通過D點(diǎn)后，在有界電場(chǎng)的位移，有幾何關(guān)系得：d=rsin53°…④
過D點(diǎn)在有界勻強(qiáng)電場(chǎng)的時(shí)間為t₁=

d

vD

…⑤
帶電小球通過勻強(qiáng)電場(chǎng)后做平拋運(yùn)動(dòng)，平拋運(yùn)動(dòng)的高度有幾何關(guān)系得：
h_DA=2r-（r-rcos53°）…⑥
根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)豎直方向上的位移公式：h_DA=

1

2

gt₂² …⑦
小球離開D點(diǎn)再到達(dá)水平面AB的總時(shí)間為：t=t₁+t₂…⑧
聯(lián)立①②④⑤⑥⑦⑧解之得：t=1s
答：（1）小球從B點(diǎn)進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度大小為12m/s．
（2）①小球剛到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力�?1N，方向豎直向上
②小球離開D點(diǎn)再經(jīng)1s到達(dá)水平面AB．