Question

18．如圖所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行金屬導軌，NQ⊥MN．導軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個R=5Ω的電阻．有一勻強磁場垂直于導軌平面向上，磁感應強度為B₀=1T．將一根質量為m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導軌上，且與導軌接觸良好，導軌與金屬棒及各接觸點的電阻均不計．現(xiàn)由靜止釋放金屬棒，金屬棒沿導軌向下運動過程中始終與NQ平行且與導軌接觸良好．已知金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.5，當金屬棒滑行至cd處時恰好達到最大速度，這一過程流過R的電量為q=0.2C．試解答以下問題：（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）金屬棒達到的最大速度是多大？
（2）當金屬棒滑行至cd處的過程中電阻R上產生的焦耳熱是多少？
（3）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感應強度逐漸減小，可使金屬棒中不產生感應電流，則磁感應強度B應怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關系式）？

Answer 1

分析 （1）對金屬棒進行受力分析可知，金屬棒勻速運動時速度達到最大，根據平衡條件列出等式求解最大速度．
（2）根據能量守恒得，重力勢能減小轉化為動能、摩擦產生的內能和回路中產生的焦耳熱．
（3）要使金屬棒中不產生感應電流，則穿過線框的磁通量不變．同時棒受到重力、支持力與滑動摩擦力做勻加速直線運動．從而可求出磁感應強度B應怎樣隨時間t變化的．

解答 解：（1）金屬棒勻速運動時速度達到最大，設最大速度為v．則金屬棒所受的安培力為：
F_安=B₀IL
由平衡條件有：mgsinθ=F_安+μmgcosθ 
可得：I=$\frac{mg（sin37°-μcos37°）}{{B}_{0}L}$=0.2 A  
由E=B₀Lv，I=$\frac{E}{R}$，得：v=$\frac{IR}{{B}_{0}L}$=2m/s 
（2）設cd到ab的距離為s．則流過R的電量為：
q=$\overline{I}$△t，
$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$
$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$，
△Φ=B₀Ls
可得：s=$\frac{qR}{{B}_{0}L}$=$\frac{0.2×5}{1×0.5}$=2m
根據能量守恒得，重力勢能減小轉化為動能、摩擦產生的內能和回路中產生的焦耳熱．
Q=mgsin37°s-μmgcos37°s-$\frac{1}{2}$mv²=0.1J
（3）當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流．此時金屬棒將沿導軌做勻加速運動．
由牛頓第二定律得：mgsinθ-μmgcosθ=ma
可得：a=gsinθ-μgcosθ=2m/s²
要不產生感應電流，須有：B₀Ls=BL（s+vt+$\frac{1}{2}$at²）
則得：B=$\frac{2}{{t}^{2}+2t+2}$T．
答：（1）金屬棒達到的最大速度是2m/s．
（2）當金屬棒滑行至cd處的過程中電阻R上產生的焦耳熱是0.1J．
（3）磁感應強度B隨時間t變化規(guī)律為：B=$\frac{2}{{t}^{2}+2t+2}$T．

點評 本題考查了牛頓運動定律、閉合電路毆姆定律，安培力公式、感應電動勢公式，還有能量守恒．同時當金屬棒速度達到穩(wěn)定時，則一定是處于平衡狀態(tài)，原因是安培力受到速度約束的．還巧妙用磁通量的變化去求出面積從而算出棒的距離．最后線框的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流是解題的突破點．