Question

如下圖a所示的平面坐標(biāo)系，在整個(gè)區(qū)域內(nèi)充滿了勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直坐標(biāo)平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化的關(guān)系如圖b所示，開(kāi)始時(shí)刻，磁場(chǎng)方向垂直紙面向內(nèi)，時(shí)刻，有一帶正電的粒子（不計(jì)重力）從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿軸正向進(jìn)入磁場(chǎng)，初速度為，已知正粒子的荷質(zhì)比為，其他有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)圖中標(biāo)示。試求：
（1）時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)；
（2）粒子從開(kāi)始時(shí)刻起經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間到達(dá)軸；
（3）粒子是否還可以返回原點(diǎn)？如果可以，則經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間返回原點(diǎn)？

Answer 1

（1）（2）（3）

試題分析：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)，
設(shè)半徑為R，周期為T(mén)，由洛倫茲力提供向心力，有，得：
又
在磁場(chǎng)變化的第一段時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為：（運(yùn)動(dòng)周期）
運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為120°作出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如下圖a所示，第一段時(shí)間末，粒子的坐標(biāo)為：
，
所求時(shí)刻，粒子的坐標(biāo)（，0.6）
（2）根據(jù)第（1）問(wèn)可知，粒子在第一個(gè)磁場(chǎng)變化的時(shí)間段內(nèi)時(shí)，運(yùn)動(dòng)了個(gè)周期，在第二個(gè)時(shí)間段內(nèi)運(yùn)動(dòng)的周期數(shù)為
（個(gè)運(yùn)動(dòng)周期），所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)軌跡圓心角為60°
第三個(gè)時(shí)間段內(nèi)同樣運(yùn)動(dòng)了：（個(gè)運(yùn)動(dòng)周期）
對(duì)應(yīng)的圓心角為120°
粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如下圖a所示，粒子恰好在第三段時(shí)間末通過(guò)軸
故運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

（3）粒子在磁場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)，根據(jù)對(duì)稱性和周期性，畫(huà)出粒子的部分運(yùn)動(dòng)軌跡如上圖b所示，其中、、構(gòu)成一個(gè)正三邊形，故粒子在磁場(chǎng)中一共運(yùn)動(dòng)了6個(gè)大圓弧和3個(gè)小圓弧，故從原點(diǎn)出發(fā)到回到原點(diǎn)的總時(shí)間為

點(diǎn)評(píng)：本題的難度較大，要掌握住半徑公式、周期公式，畫(huà)出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡后，幾何關(guān)系就比較明顯了．