Question

4．麥克斯韋電磁理論認為：變化的磁場會在其周圍空間激發(fā)一種電場，這種電 場與靜電場不同，稱為感生電場或渦旋電場，如圖甲所示．

（1）若圖甲中磁場B隨時間t按B=B₀+kt（B₀、k均為正常數(shù)）規(guī)律變化，形成渦旋電場的電場線是一系列 同心圓，單個圓上形成的電場場強大小處處相等．將一個半徑為r的閉合環(huán)形導體置于相同半徑的電 場線位置處，導體中的自由電荷就會在感生電場的 作用下做定向運動，產(chǎn)生感應電流，或者說導體中 產(chǎn)生了感應電動勢．求：
a．環(huán)形導體中感應電動勢E_感大�。�
b．環(huán)形導體位置處電場強度E大�。�
（2）電子感應加速器是利用感生電場使電子加速的設備．它的基本原理如圖乙所示，圖 的上部分為側視圖，上、下為電磁鐵的兩個磁極，磁極之間有一個環(huán)形真空室，電 子在真空室中做圓周運動．圖的下部分為真空室的俯視圖，電子從電子槍右端逸出，當電磁鐵線圈電流的大小與方向變化滿足相應的要求時，電子在真空室中沿虛線圓 軌跡運動，不斷地被加速．若某次加速過程中，電子圓周運動軌跡的半徑為R，圓形軌跡上的磁場為B₁，圓形軌跡區(qū)域內(nèi)磁場的平均值記為$\overline{{B}_{2}}$（由于圓形軌跡區(qū)域內(nèi)各處磁場分布可能不均勻，$\overline{{B}_{2}}$即為穿過圓形軌道區(qū)域內(nèi)的磁通量與圓的面積比值）．電磁鐵中通有如圖丙 所示的正弦交變電流，設圖乙裝置中標出的電流方向為正方向．
a．在交變電流變化一個周期的時間內(nèi)，分析說明電子被加速的時間范圍；
b．若使電子被控制在圓形軌道上不斷被加速，B₁與$\overline{{B}_{2}}$之間應滿足B₁=$\frac{1}{2}$$\overline{{B}_{2}}$之的關系，請寫出你的證明過程．

Answer 1

分析 （1）a．由B=B₀+kt可求出磁感應強度的變化率，結合法拉第電磁感應定律，聯(lián)立即可求出環(huán)形導體中感應電動勢E_感大�。籦．因為電場力的方向始終沿切線方向，利用做功公式、電勢差的定義式以及場強定義式，聯(lián)立即可求解環(huán)形導體位置處電場強度E大�。�
（2）a．結合圖象運用楞次定律分析即可；b．由洛倫茲力提供向心力，結合（1）問中b結論聯(lián)立即可證明．

解答 解：（1）a．根據(jù)法拉第電磁感應定律：E_感=$\frac{△φ}{△t}$=$\frac{△B}{△t}S$=$\frac{△Bπ{r}^{2}}{△t}$ ①
由B=B₀+kt可知：$\frac{△B}{△t}$=k ②
聯(lián)立①②式得：E_感=kπr² ③
b．由W_電=F_電•2πr ④
W_電=eE_電 ⑤
F_電=eE ⑥
聯(lián)立③④⑤⑥式得：E=$\frac{{E}_{感}}{2πr}$=$\frac{kπ{r}^{2}}{2πr}$=$\frac{kr}{2}$
（2）a．B₁和$\overline{{B}_{2}}$是由同一個電流產(chǎn)生的，因此磁場方向總相同；
由圖2可知：B₁處的磁場向上，才能提供做圓周運動的向心力（時間0～$\frac{T}{2}$）；
由圖2可知：感生電場的電場線方向順時針，電子才能加速，所以$\overline{{B}_{2}}$可以是向上增強（時間0～$\frac{T}{4}$）或向下減弱（時間$\frac{3}{4}T$～T）；
綜上三點可知：磁場向上增強才能滿足在圓周上的加速，因此根據(jù)圖3可知只能在第一個四分之一周期加速．
b．做圓周運動的向心力由洛倫茲力提供：設某時刻電子運動的速度為v
由B₁ev=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得：B₁eR=mv⑦
由（1）問中b結論可得，此時軌道處的感生電場場強大�。篍=$\frac{R△\overline{{B}_{2}}}{2△t}$ ⑧
整理⑦式可得：eR$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=m$\frac{△v}{△t}$=ma=eE ⑨
聯(lián)立⑧⑨式得：eR$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=e•$\frac{1}{2}$R$\frac{△\overline{{B}_{2}}}{△t}$
整理得：$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{△\overline{{B}_{2}}}{2△t}$
因為t=0時：B₁=0、B₂=0，所以有B₁=$\frac{1}{2}$$\overline{{B}_{2}}$
答：（1）a．環(huán)形導體中感應電動勢E_感大小為kπr²；b．環(huán)形導體位置處電場強度E大小為$\frac{kr}{2}$．
（2）a．在交變電流變化一個周期的時間內(nèi)，分析說明電子被加速的時間范圍為第一個四分之一周期；
b．若使電子被控制在圓形軌道上不斷被加速，B₁與$\overline{{B}_{2}}$之間應滿足B₁=$\frac{1}{2}$$\overline{{B}_{2}}$之的關系，證明過程見解析．

點評 本題考查麥克斯韋電磁場理論、發(fā)拉第電磁感應定律以及楞次定律；題中變化的磁場激發(fā)了環(huán)形電場，可將該過程理解為未夠成閉合回路的電磁感應現(xiàn)象，沒有感應電流，但產(chǎn)生感應電動勢；整理⑦式過程用到了微分的思想，同學們要注意體會理解．