Question

如圖所示為某種新型分離設(shè)備內(nèi)部電、磁場(chǎng)分布情況圖。自上而下分為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個(gè)區(qū)域。區(qū)域Ⅰ寬度為d₁，分布有沿紙面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁；區(qū)域Ⅱ?qū)挾葹閐₂，分布有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₁；寬度可調(diào)的區(qū)域Ⅲ中分布有沿紙面向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)E₂和垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B₂。現(xiàn)有一群質(zhì)量和帶電量均不同的帶電粒子從區(qū)域Ⅰ上邊緣的注入孔A點(diǎn)被注入，這些粒子都只在電場(chǎng)力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)，然后相繼進(jìn)入Ⅱ、Ⅲ兩個(gè)區(qū)域，滿足一定條件的粒子將回到區(qū)域Ⅰ，其他粒子則從區(qū)域Ⅲ飛出，三區(qū)域都足夠長(zhǎng)。已知能飛回區(qū)域Ⅰ的帶電粒子的質(zhì)量為m=6.4×10^—27kg、帶電量為q=3.2×10^—19C，且有d₁=10cm，d₂=5cm，E₁=" " E₂=40V/m，B₁=4×10^—3T，B₂=2×10^—3T。試求：

（1）該帶電粒子離開區(qū)域Ⅰ時(shí)的速度；
（2）該帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度；
（3）為使該帶電粒子還能回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣，區(qū)域Ⅲ的寬度d₃應(yīng)滿足的條件；
（4）該帶電粒子第一次回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣時(shí)離開A點(diǎn)的距離。

Answer 1

（1）2×10⁴m/s,方向沿y軸正向（2）2×10⁴m/s, 方向與x軸正向夾45°
（3）   d₃>10cm    （4）d=40+10π—10=57.26cm

為研究方便，建立如圖所示坐標(biāo)系

（1）由E₁qd₁=得，
帶電粒子離開區(qū)域Ⅰ時(shí)的速度，   方向沿y軸正向。
（2）帶電粒子在區(qū)域Ⅱ內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，只受洛侖茲力，且不做功，所以帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度大小仍為
方向：由圖中幾何關(guān)系可知：，又由得：
聯(lián)立代入數(shù)據(jù)得：，，即 
所以帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ時(shí)的速度方向與x軸正向夾45°。
（3）如果將帶電粒子離開區(qū)域Ⅱ也即進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅲ時(shí)的速度分解成和，
則有===，
所以，方向沿y軸反向，方向沿x軸正向，
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824115007866521.gif" style="vertical-align:middle;" />，方向沿y軸正向，即與抵消。
所以帶電粒子在區(qū)域Ⅲ中運(yùn)動(dòng)可視為沿x軸正向的速度為的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速率為以及對(duì)應(yīng)洛淪茲力作為向心力的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的疊加。軌跡如圖所示。
圓周運(yùn)動(dòng)半徑為=10cm，       周期T==
所以只要帶電粒子運(yùn)動(dòng)到軌跡最低點(diǎn)C時(shí)不出區(qū)域Ⅲ，就可回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣。
所以區(qū)域Ⅲ的寬度應(yīng)滿足d₃>h
由上面的運(yùn)動(dòng)分析可知，帶電粒子到最低點(diǎn)，圓周運(yùn)動(dòng)剛好轉(zhuǎn)過(guò)，
所以h==0.1m=10cm所以d₃>10cm
（4）根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，帶電粒子回到區(qū)域Ⅰ的上邊緣的B點(diǎn)，距A點(diǎn)的距離為：
d=2[（1—cosθ）++·]代入數(shù)據(jù)得：
d=40+10π—10=57.26cm