Question

一傳送帶裝置示意圖如圖3，其中傳送帶經(jīng)過(guò)AB區(qū)域時(shí)是水平的，經(jīng)過(guò)BC區(qū)域時(shí)變?yōu)閳A弧形(圓弧由光滑模板組成,未畫出),經(jīng)過(guò)CD區(qū)域時(shí)是傾斜的，AB和CD都與BC相切.現(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個(gè)一個(gè)在A處放到傳送帶上，放置時(shí)初速為零，經(jīng)傳送帶運(yùn)送到D處，D和A的高度差為h.穩(wěn)定工作時(shí)傳送帶速度不變，CD段上各箱以相等間距排列，相鄰兩箱的距離為L(zhǎng).每個(gè)箱子在A處投放后，在到達(dá)B之前已經(jīng)相對(duì)于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(dòng)(忽略經(jīng)BC段時(shí)的微小滑動(dòng)).已知在一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間T內(nèi)，共運(yùn)送小貨箱的數(shù)目為N.此裝置由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，傳送帶與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng).不計(jì)輪軸處的摩擦.求電動(dòng)機(jī)的平均功率.

圖3

Answer 1

解析：在傳送穩(wěn)定情況下，在一定時(shí)間內(nèi)將一定數(shù)量的小貨箱從A端送到D端，在傳送過(guò)程中，小貨箱的動(dòng)能和重力勢(shì)能都增加了一定的數(shù)值.另外在水平的AB部分，小貨箱與皮帶等速前要發(fā)生一段相對(duì)位移，通過(guò)摩擦力做功而產(chǎn)生一定數(shù)量的內(nèi)能.由功能關(guān)系知上述能量的增加和產(chǎn)生，都是電動(dòng)機(jī)做功的結(jié)果.求出單位時(shí)間產(chǎn)生的內(nèi)能和小貨箱動(dòng)能、重力勢(shì)能增量的總和，即為電動(dòng)機(jī)的輸出功率.

以地面為參考系.設(shè)傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度為v₀.在水平段運(yùn)輸?shù)倪^(guò)程中，小貨箱先在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)這段路程為s,加速度為a，所用時(shí)間為t,對(duì)小貨箱有：

s=at²/2,v₀=at.在這段時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)動(dòng)的路程為：s₀=v₀t由以上可得s₀=2s

用F表示小貨箱與傳送帶之間的滑動(dòng)摩擦力，則傳送帶對(duì)小貨箱做功為

傳送帶克服小貨箱對(duì)它的摩擦力做功

兩者之差就是克服摩擦力做功放出的熱量Q=mv₀²

可見(jiàn)，在小貨箱加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小箱獲得的動(dòng)能與發(fā)熱量相等.T時(shí)間內(nèi)，電動(dòng)機(jī)輸出的功為W=PT，此功用于增加小貨箱的動(dòng)能、勢(shì)能及克服摩擦力發(fā)熱，即

W=Nmv₀²+Nmgh+NQ

已知相鄰N個(gè)小貨箱的距離為L(zhǎng)，所以v₀T=NL

得電動(dòng)機(jī)的平均功率：P=NmT(N²L²T²+gh).

答案：