Question

17．如圖所示，是運載火箭發(fā)射飛船的示意圖，飛船由運載火箭先送人近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道，在B點實施變軌后，再進入預定圓軌道，已知近地點A距地面高度為h₁，飛船在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，求：
（1）地球的第一宇宙速度大��；
（2）飛船在近地點A的加速度a_A大�。�
（3）遠地點B距地面的高度h₂大�。�

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力與萬有引力相等，第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，據萬有引力提供圓周運動向心力計算即可；
（2）根據萬有引力提供圓周運動向心力求飛船在近地點A處的加速度大小；
（3）求得飛船在B上運動的周期，根據萬有引力提供圓周運動向心力求得距地面高度．

解答 解：（1）繞地球表面運動的衛(wèi)星的向心力由萬有引力提供：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$…①
在地球表面有重力與萬有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$…②
由①②兩式解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）根據萬有引力和牛頓第二定律可得：$G\frac{mM}{（R+{h}_{1}）^{2}}=m{a}_{A}$…③
由②③兩式解得：a_A=$\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}g$
（3）在大圓軌道上，根據萬有引力定律可得：
在大圓軌道上衛(wèi)星運動n圈所用時間為t，可得在該軌道上運動的周期我：T=$\frac{t}{n}$…④
根據萬有引力提供圓周運動向心力有：
$G\frac{mM}{（R+{h}_{2}）^{2}}=m（R+{h}_{2}）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$…⑤
由②④⑤式可解得：h₂=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$
答：（1）地球的第一宇宙速度大小為$\sqrt{gR}$；
（2）飛船在近地點A的加速度a_A大小為$\frac{{R}^{2}}{（R+{h}_{1}）^{2}}g$；
（3）遠地點B距地面的高度h₂大小為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{n}^{2}}}-R$．

點評 解問題的關鍵入手點有二：一是地球表面重力與萬有引力相等，二是萬有引力提供圓周運動向心力，不難屬于基礎知識考查．