Question

（12分）金屬硬桿軌道“ABCDEFGHIP”固定置于豎直平面內，CDE、FGH兩半圓形軌道半徑分別為、，足夠長的PI、AB直軌與水平均成θ=37°，一質量為m的小環(huán)套在AB桿上，環(huán)與BC、EF、HI水平直桿軌道間的動摩擦因數均為μ=0.1，其中BC=、EF=、HI=，其他軌道均光滑，軌道拐彎連接處也光滑，環(huán)通過連接處時動能損失忽略不計，現(xiàn)環(huán)在AB桿上從距B點處的地方無初速釋放．已知sin37°=0.6，試求：

（1）從釋放到第一次到達B所用的時間；
（2）第一次過小圓道軌最高點D時，環(huán)對軌道的作用力；
（3）小環(huán)經過D的次數及環(huán)最終停在什么位置？

Answer 1

（1）；（2）；（3）最終停在I處。

試題分析：（1）                  
得：
（2）從A→D：        
得：
第一次在D處：（假設軌道對環(huán)的力是向下的）   
得：
所以環(huán)對軌道的作用力是豎直向上的，大小為
（3）假設小環(huán)第n次向左過D時（n為大于等于1的整數），速度設為
由動能定理得：
＞0
n＜，所以最多向左第3次通過D點
假設小環(huán)第k次向左過大圓軌道最高點G時，速度設為由動能定理得：

＞0
k＜，所以最多向左第2次通過G點
如果環(huán)能第2次向右過G點，說明最終環(huán)在FE之間，所以要證明是否能第2次能向右過G點，設第2次向右過G點時速度為
由動能定理得：
即： 
顯然是動能不可能為負的，說明不會第2次向右過G點，也就不可能出現(xiàn)第3次向左過D點。
所以，過D點的次數為3次（2次向左1次向右）
當環(huán)第2次向左過G點后，環(huán)只能在G的左側做往復運動，最后停在IH軌道上的某處設環(huán)在“IH”直軌上的運動路程為


得，是3a的7倍，所以小環(huán)最終停在I處。