Question

如圖所示，兩塊相同的金屬板正對(duì)著水平放置，金屬板長(zhǎng)為L(zhǎng)，兩板間距離為d．且L＞d，上極板的電勢(shì)比下極板高U．質(zhì)量為m、帶電量為q的正離子束，沿兩板間中心軸線以初速度υ₀進(jìn)入兩板間，最終都能從兩板間射出．不計(jì)離子重力及離子間相互作用的影響．
（1）求離子在穿過兩板的過程中沿垂直金屬板方向下移動(dòng)的距離y；
（2）若在兩板間加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)離子束恰好沿直線穿過兩板，求磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；
（3）若撤去兩金屬板的電場(chǎng)，只剩垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)離子束打在離左端為

3 d

2

處，求離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）離子垂直電場(chǎng)進(jìn)入做類平拋運(yùn)動(dòng)，即在垂直于電場(chǎng)方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在沿電場(chǎng)方向上做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)力學(xué)知識(shí)，抓住等時(shí)性求出粒子的偏轉(zhuǎn)位移．
（2）在兩板間加垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，發(fā)現(xiàn)離子束恰好沿直線穿過兩板，知粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)電場(chǎng)力和洛倫茲力平衡求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向，通過左手定則確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向．
（3）撤去電場(chǎng)，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，通過幾何關(guān)系確定出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑以及圓心角，從而求出帶電粒子運(yùn)動(dòng)時(shí)間．

解答：解：（1）離子在穿過兩板的過程中，只受與初速度v₀垂直的電場(chǎng)力F作用，且
兩板間電場(chǎng)強(qiáng)度：E=

U

d

…①
離子的加速度：qE=ma…②
離子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)離子穿過兩板經(jīng)歷的時(shí)間為t，有：
L=v₀t…③
y=

1

2

at2…④
解得：y=

qUL2

2md v 2 0

…⑤
（2）離子束恰好沿直線穿過兩板，說(shuō)明離子受力平衡，即：qE=qv₀B…⑥
 所以磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小：B=

U

dv0

…⑦
磁場(chǎng)的方向垂直紙面向里．  
（3）若撤去兩金屬板的電場(chǎng)，只剩垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，離子在磁場(chǎng)中做勻速周運(yùn)動(dòng)，有：qBv0=

m v 2 0

r

…⑧
周期：T=

2πr

v0

=

2πm

qB

…⑨
由幾何知識(shí)可得：r2=(

3 d

2

)2+(r-

d

2

)2…⑩
解得：r=d
圓心角為θ，則：tanθ=

3 d 2

r- d 2

=

3

解得：θ=

π

3

所以離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=

1

6

T=

πmdv0

3qU

．
答：（1）離子在穿過兩板的過程中沿垂直金屬板方向下移動(dòng)的距離

qUL2

2md v 2 0

．
（2）磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為

U

dv0

，方向垂直紙面向里．
（3）離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

πmdv0

3qU

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子的類平拋運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)以及勻速圓周運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵掌握這些運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，選用合適的定律進(jìn)行求解．