Question

如圖所示光滑管形圓軌道半徑為R（管徑遠(yuǎn)小于R），小球a、b大小相同，質(zhì)量相同，均為m，其直徑略小于管徑，能在管中無(wú)摩擦運(yùn)動(dòng)．兩球先后以相同速度v通過(guò)軌道最低點(diǎn)，且當(dāng)小球a在最低點(diǎn)時(shí)，小球b在最高點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是（　�。�

• A．速度v至少為

  5gR

  ，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)?
• B．當(dāng)v=

  5gR

  時(shí)，小球b在軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力?
• C．當(dāng)小球b在最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力時(shí)，小球a比小球b所需向心力大5mg?
• D．只要v≥

  5gR

  ，小球a對(duì)軌道最低點(diǎn)壓力比小球b對(duì)軌道最高點(diǎn)壓力都大6mg

Answer 1

分析：要使小球能通過(guò)最高點(diǎn)，只要小球的速度大于零即可；而當(dāng)向心力等于重力時(shí)，小球?qū)�軌道沒(méi)有壓力，由向心力公式可求得小球在最高點(diǎn)時(shí)速度；再由機(jī)械能守恒可求得小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度，及最低點(diǎn)時(shí)所需要的向心力，即可求得最低點(diǎn)與最高點(diǎn)處壓力的差值．

解答：解：A、因小球在管內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，則內(nèi)管可對(duì)小球提供向上的支持力，故可看作是桿模型；
故小球的最高點(diǎn)的速度只要大于零，小球即可通過(guò)最高點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
B、當(dāng)小球?qū)�軌道無(wú)壓力時(shí)，則有：mg=m

v12

R

；
解得：v₁=

gR

；即當(dāng)速度為

gR

時(shí)，小球在軌道最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力；
由機(jī)械能守恒定律可得，mg2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
求小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度v₂=

5gR

，故最低點(diǎn)速度至少為

5gR

，才能使兩球在管內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)；當(dāng)速度為

5gR

時(shí)，小球在最高點(diǎn)對(duì)軌道無(wú)壓力；故B正確；
C、在最高點(diǎn)無(wú)壓力時(shí)，向心力F₁=mg；最低點(diǎn)時(shí)，向心力F₂=m

v 2 2

r

=5mg；即a球比b球所需向心力大4mg；故C錯(cuò)誤；
D、在最高點(diǎn)時(shí)，T₁+mg=m

v 2 1

R

；解得T₁=m

v 2 1

R

-mg；
最低點(diǎn)時(shí)，T₂-mg=m

v 2 2

R

；解得T₂=m

v 2 2

R

+mg；
T₂-T₁=2mg+m

v 2 2

R

-

v 2 1

R

；
由機(jī)械能守恒可得：mg2R=

1

2

mv₂²-

1

2

mv₁²；
可得：

m v 2 2 -m v 2 1

R

=4mg；
則可得：T₂-T₁=6mg；即只要能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，壓力之差都等于6mg；故D正確；
故選B、D；

點(diǎn)評(píng)：小球在豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)，若是用繩拴著只有重力小于等于向心力時(shí)，小球才能通過(guò)；而用桿或在管內(nèi)運(yùn)動(dòng)的小球，只要速度大于零，小球即可通過(guò)最高點(diǎn)．