Question

如圖所示的豎直平面內(nèi)有范圍足夠大、水平向左的勻強電場，在虛線的左側(cè)有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感強度大小為B，一絕緣軌道由兩段直桿和一半徑為R的半圓環(huán)組成，固定在紙面所在的豎直平面內(nèi)，PQ、MN水平且足夠長，半圓環(huán)MAP在磁場邊界左側(cè)，P、M點在磁場邊界線上，NMAP段光滑，PQ段粗糙．現(xiàn)在有一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小環(huán)套在MN桿上，它所受電場力為重力的

3

4

倍．現(xiàn)將小環(huán)從M點右側(cè)的D點由靜止釋放，小環(huán)剛好能到達P點．
（1）求DM間距離x₀；
（2）求上述過程中小環(huán)第一次通過與O等高的A點時半圓環(huán)對小環(huán)作用力的大��；
（3）若小環(huán)與PQ間動摩擦因數(shù)為μ（設(shè)最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等），現(xiàn)將小環(huán)移至M點右側(cè)4R處由靜止開始釋放，求小環(huán)在整個運動過程中克服摩擦力所做的功．

Answer 1

（1）小環(huán)剛好到達P點時速度v_P=0，由動能定理得
   qEx₀-2mgR=0                                          
而  qE=

3mg

4

所以x0=

8R

3

（2）設(shè)小環(huán)在A點時的速度為v_A，由動能定理得
  qE(x0+R)-mgR=

1

2

m

v

2A

-0
因此vA=

14Rg

2

設(shè)小環(huán)在A點時所受半圓環(huán)軌道的作用力大小為N，由牛頓第二定律得
  N-qvAB-qE=m

v 2A

R

解得  N=

17mg

4

+

qB 14Rg

2

（3）若f=μmg≥qE，即μ≥

3

4

．小環(huán)第一次到達P點右側(cè)s₁距離處靜止，由動能定理得
  qE（4R-s₁）-2mgR-fs₁=0                                       
而f=μmg，因此得  s1=

4R

4μ+3

設(shè)克服摩擦力所做的功為W，則  W=fs1=

4μmgR

4μ+3

若f=μmg≤qE，即μ＜

3

4

．環(huán)經(jīng)過來回往復運動，最后只能在PD之間往復運動，設(shè)克服摩擦力所做的功為W，則
qE（4R）-mg（2R）-W=0                                    
解得W=mgR
答：（1）DM間距離x₀是

8R

3

．
（2）上述過程中小環(huán)第一次通過與O等高的A點時半圓環(huán)對小環(huán)作用力的大小是

17mg

4

+

qB 14Rg

2

；
（3）小環(huán)在整個運動過程中克服摩擦力所做的功為

4μmgR

4μ+3

或mgR．