Question

5．如圖所示，在x軸上方存在垂直xoy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在x軸下方存在著如圖所示的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一正電荷從y軸上的A點(diǎn)沿y軸正方向以速度v射入磁場(chǎng)中，OA=a，電荷在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為r=$\sqrt{2}$a．電荷帶電量為q、質(zhì)量為m．（重力不計(jì)）求：
（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度及電荷從射入磁場(chǎng)到第一次經(jīng)過(guò)x軸用的時(shí)間；
（2）電荷第三次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離；
（3）電荷第四次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的速度大小 及速度與x軸夾角．

Answer 1

分析 （1）粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中的半徑，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，分析粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度，然后結(jié)合：$\frac{θ}{2π}=\frac{t}{T}$即可求出粒子從射入磁場(chǎng)到第一次經(jīng)過(guò)x軸用的時(shí)間；
（2）粒子第一次進(jìn)入電場(chǎng)后做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，并且再次從入射點(diǎn)返回磁場(chǎng)，然后在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系即可求出電荷第三次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離；
（3）粒子第二次進(jìn)入電場(chǎng)后，由于運(yùn)動(dòng)的方向與電場(chǎng)的方向垂直，所以粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，將粒子的運(yùn)動(dòng)分解即可求出．

解答 解：（1）粒子從A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，

其中：$sinθ=\frac{a}{r}=\frac{a}{\sqrt{2}a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
所以：θ=45°
所以粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度 是：α=180°+θ=180°+45°=225°
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期：T=$\frac{2πr}{v}$
所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：$t=\frac{α}{360°}•T=\frac{225°}{360°}•\frac{2πr}{v}=\frac{5\sqrt{2}πa}{4v}$
（2）由于粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度是225°，所以粒子將逆著電場(chǎng)線的方向進(jìn)入電場(chǎng)，在電場(chǎng)中先減速，后加速，仍然從進(jìn)入電場(chǎng)的點(diǎn)射出電場(chǎng)，射出電場(chǎng)的速度仍然是v，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑仍然是r，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，粒子在磁場(chǎng)中將再次偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)的角度是90°，所以電荷第三次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離：
$L=r+r•cos45°+\sqrt{2}r$=$\sqrt{2}a+\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}a+\sqrt{2}×\sqrt{2}a=（3+\sqrt{2}）a$
（3）結(jié)合運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性可知，粒子第二次進(jìn)入電場(chǎng)后速度的方向與x軸之間的夾角仍然是45°，所以粒子速度的方向與電場(chǎng)的方向垂直，粒子在電場(chǎng)中做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，由運(yùn)動(dòng)的分解的知識(shí)可知，當(dāng)粒子第四次到達(dá)x軸時(shí)，沿垂直于電場(chǎng)的方向的位移與沿電場(chǎng)方向的位移大小相等，即x_∥=x_⊥．
沿電場(chǎng)線的方向：${x}_{∥}=\frac{{v}_{⊥}}{2}t$
沿垂直于電場(chǎng)線的方向：x_⊥=vt
所以：v_⊥=2v
電荷第四次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的速度大�。�${v}_{末}=\sqrt{{v}^{2}+{v}_{⊥}^{2}}=\sqrt{5}v$
末速度與垂直于電場(chǎng)方向之間的夾角：$tanβ=\frac{{v}_{⊥}}{v}=\frac{2}{1}$
速度與x軸夾角：α=β-45°=arctan2-45°
答：（1）磁感應(yīng)強(qiáng)度及電荷從射入磁場(chǎng)到第一次經(jīng)過(guò)x軸用的時(shí)間是$\frac{5\sqrt{2}πa}{4v}$；
（2）電荷第三次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)距O點(diǎn)的距離是$（3+\sqrt{2}）a$；
（3）電荷第四次經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的速度大小是$\sqrt{5}v$，速度與x軸夾角是arctan2-45°．

點(diǎn)評(píng) 該題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中和在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)要注意分析過(guò)程，并結(jié)合各過(guò)程中涉及到的運(yùn)動(dòng)規(guī)律采用合理的物理規(guī)律求解．