Question

如圖所示，下面部分是由電動(dòng)勢(shì)為E內(nèi)阻不計(jì)的電源，定值電阻R₀和可變電阻R組成的一個(gè)閉合電路．上面部分是真空中固定于A點(diǎn)的電量為Q（Q＞0）點(diǎn)電荷，另有一電子槍．求：
（1）若電源的額定電流為I₀，則電阻R₀的阻值滿足什么條件才能使下面部分閉合電路安全工作？
（2）電子槍用同一加速電壓加速靜止的帶電粒子，現(xiàn)有兩種帶負(fù)電的粒子p₁、p₂，經(jīng)該槍加速后從O點(diǎn)進(jìn)入Q（點(diǎn)電荷）場(chǎng)區(qū)，槍口射出方向垂直AO連線，AO=r₀，試證明若加速電壓滿足一定的條件，帶電粒子p₁、p₂進(jìn)入Q區(qū)域后能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．（不考慮帶電粒子的重力）
（3）設(shè)（2）中的加速電壓U是由a、b輸出，c、d輸入的，要保證帶電粒子p₁、p₂進(jìn)入Q區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電阻箱R的阻值應(yīng)調(diào)節(jié)為多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，當(dāng)R調(diào)到最小（零）時(shí)，閉合電路的最大電流不超過(guò)I₀電路就安全，由閉合電路的歐姆定律可求出電阻R₀的最小阻值；
（2）帶電粒子在電場(chǎng)中被加速，由動(dòng)能定理可求出加速的速度；當(dāng)進(jìn)入點(diǎn)電荷電場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力不做功，由電場(chǎng)力提供向心力，則由牛頓第二定律列出表達(dá)式，從而求出加速電壓滿足的條件，因此得以證明．
（3）由第（2）問(wèn)的結(jié)論與歐姆定律相結(jié)合，可得出電阻R的阻值．

解答：解：（1）只要考慮R調(diào)節(jié)到零時(shí)，閉合電路中的電流不超過(guò)I₀電路就安全了．
由歐姆定律得I=

E

R0

≤I₀，
解得R₀≥

E

I0

；
（2）p₁、p₂帶負(fù)電，在Q正點(diǎn)電荷的電場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，庫(kù)侖力提供向心力，帶電粒子在電場(chǎng)中加速
由動(dòng)能定理：qU=

1

2

mv2，
其中q為帶電粒子的帶電量，v為帶電粒子出槍口的速度，帶電粒子出槍口后作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
由牛頓第二定律得：F=m

v2

r0

，
其中F為庫(kù)侖引力F=k

qQ

r 2 0

，
上面兩式解之得：加速電壓滿足U=

kQ

2r0

，與帶電粒子的帶電量q無(wú)關(guān)，只與電性有關(guān)，
所以只要電壓滿足條件，粒子為負(fù)電荷都能作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（3）只要R₀兩端的電壓滿足U=

kQ

2r0

，就滿足了（2）的條件，
由歐姆定律得R₀兩端的電壓為U=IR₀，I=

E

R0+R

，
以上兩式解得R=(

2Er0

kQ

-1)R0，
R的阻值應(yīng)調(diào)節(jié)為(

2Er0

kQ

-1)R0．
答：（1）若電源的額定電流為I₀，則電阻R₀的阻值滿足R₀≥

E

I0

條件才能使下面部分閉合電路安全工作；
（2）加速電壓滿足U=

kQ

2r0

，與帶電粒子的帶電量q無(wú)關(guān)，只與電性有關(guān)，所以只要電壓滿足條件，粒子為負(fù)電荷都能作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
（3）設(shè)（2）中的加速電壓U是由a、b輸出，c、d輸入的，要保證帶電粒子p₁、p₂進(jìn)入Q區(qū)域后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電阻箱R的阻值應(yīng)調(diào)節(jié)為(

2Er0

kQ

-1)R0．

點(diǎn)評(píng)：考查閉合電路的歐姆定律、動(dòng)能定理、庫(kù)侖定律、牛頓第二定律等規(guī)律，并涉及到向心力公式．特別關(guān)注電場(chǎng)力提供向心力，此處的電場(chǎng)力不做功，只改變帶電粒子的速度方向．