Question

一般的曲線運(yùn)動可以分成很多小段，每小段用不同半徑的小圓弧來代替．通過曲線上某點(diǎn)作曲率圓，其半徑是該點(diǎn)的曲率半徑．現(xiàn)將一物體在豎直平面內(nèi)沿與水平方向成一定角度從A點(diǎn)拋出，最高點(diǎn)B點(diǎn)的曲率半徑為ρ，線OBM豎直，落地時軌跡與ON相切于C點(diǎn)，且∠MON=θ，不計空氣阻力，重力加速度為g，如圖所示．求：
（1）物體拋出時的初速度；
（2）O點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)曲率半徑求出B點(diǎn)的速度，將斜拋運(yùn)動分解，根據(jù)平行四邊形定則求出物體拋出的初速度．
（2）斜拋運(yùn)動在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動，根據(jù)豎直上拋運(yùn)動的對稱性求出運(yùn)動的時間，結(jié)合水平初速度求出水平位移，再結(jié)合幾何關(guān)系求出O點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差．

解答：解：（1）由最高點(diǎn)B：曲率半徑ρ=

v 2 B

g

，得v_B=

gρ

則斜拋初速度   v₀=

vB

sinθ

=

gρ

sinθ

．
（2）水平射程AC   x=v₀sinθ t
運(yùn)動的時間t=

2vy

g

=

2v0cosθ

g

．
聯(lián)立解得水平位移x=2ρcotθ
則OB距離     h=

x

2

cotθ-y=ρcot2θ-

(v0cosθ)2

2g

=

1

2

ρcot²θ．
答：（1）物體拋出時的初速度為

gρ

sinθ

；
（2）O點(diǎn)與B點(diǎn)的高度差為

1

2

ρcot²θ．

點(diǎn)評：解決本題的關(guān)鍵知道斜拋運(yùn)動在水平方向上做勻速直線運(yùn)動，在豎直方向上做豎直上拋運(yùn)動，結(jié)合等時性，運(yùn)用運(yùn)動學(xué)公式靈活求解．