Question

11．如圖所示，某傳送帶與水平地面夾角θ=30°，AB之間距離L₁=$\frac{5}{3}$m，傳送帶以v₀=10m/s的速率轉(zhuǎn)動，質(zhì)量為M=1.0kg，長度L₂=1.0m的木板上表面與小物塊的動摩擦因數(shù)μ₂=0.4，下表面與水平地面間的動摩擦因數(shù)μ₃=0.1，開始時長木板靠近傳送帶B端并處以靜止狀態(tài)．現(xiàn)從傳送帶上端A無初速地放一個質(zhì)量為m=1.0kg的小物塊，它與傳送帶之間的動摩擦因數(shù)為μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，（假設(shè)物塊在滑離傳送帶至木板右端時速率不變，重力加速度g=10m/s²），求：
（1）若傳送帶順時針轉(zhuǎn)動，物塊從A到B的時間t_AB（結(jié)果可用根式表示）；
（2）若傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動，物塊從A運動到B時的速度v_B；
（3）在上述第（2）問基礎(chǔ)上，從物塊滑上木板開始計時，求：之后物塊運動的總時間T．

Answer 1

分析 （1）若傳送帶順時針轉(zhuǎn)動，以小物塊為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊下滑的加速度，再由位移公式求時間t_AB．
（2）若傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動，分析物塊在傳送帶運動時的受力情況，明確其運動情況（先以a₁勻加速與傳送帶同速后；由于μ₁＜tan30°，小物塊受到重力、彈力和傳送帶斜向上的滑動摩擦力作用下，以a₂做勻加速到B點；小物塊在木板上方做勻減速運動），利用牛頓運動定律和運動學公式求解．
（3）小物塊滑上木板后做勻減速運動，木板向左做勻加速運動，當兩者速度相等時一起勻減速運動，由牛頓第二定律求出各自的加速度，再由運動學公式求解總時間T．

解答 解：（1）傳送帶順時針轉(zhuǎn)動，物塊受力分析如圖所示：

由牛頓第二定律，得：
   mgsinθ-f=ma₁；
   N-mgcosθ=0
且：f=μ₁N，
由運動學公式有 L₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{AB}^{2}$
聯(lián)立解得：t_AB=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$s．
（2）傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動，剛開始物塊相對傳送帶往上滑，物塊受力分析如圖所示：

根據(jù)牛頓第二定律得：
  mgsinθ+μ₁mgcosθ=ma₂；
達到傳送帶速度v₀所用時間為：t=$\frac{{v}_{0}}{{a}_{2}}$
位移 x₁=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
之后因為μ₁＜tan30°，故物塊相對傳送帶向下加速滑動，物塊受力分析如圖所示：

則  mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁；
位移 x₂=L₁-x₁=$\frac{{v}_{B}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$
聯(lián)立解得：v_B=3m/s．
（3）物塊滑上木板相對滑動時做勻減速運動
對物塊：a₃=-$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=-μ₂g=-4 m/s²
對木板：a₄=$\frac{{μ}_{2}mg-{μ}_{3}（M+m）g}{M}$
解得 a₄=2 m/s²
設(shè)經(jīng)過t₁時間物塊與木板達到共同速度v₁，則：v_B+a₃t₁ =a₄t₁
解之得：t₁=0.5s，v₁=1m/s
因為μ₃＜μ₂，物塊能與木板保持相對靜止，其整體加速度大小為：a₅=$\frac{{μ}_{3}（M+m）g}{M+m}$=μ₃g=-1m/s²
物塊與木板做勻減速運動直到停止的時間：t₂=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{1}$s=1s
物塊運動的總時間：T=t₁+t₂=1.5s．
答：
（1）若傳送帶順時針轉(zhuǎn)動，物塊從A到B的時間t_AB是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$s；
（2）若傳送帶逆時針轉(zhuǎn)動，物塊從A運動到B時的速度v_B是3m/s；
（3）之后物塊運動的總時間T是1.5s．

點評 解決本題的關(guān)鍵能正確對物快受力分析，判斷其運動情況，注意二者同速是解題的臨界；靈活應用牛頓運動定律求解．