Question

10．如圖所示，相距2L的AB、CD兩直線間的區(qū)域存在著兩個(gè)大小不同、方向相反的有界勻強(qiáng)電場(chǎng)，其中PT上方的電場(chǎng)E₁的場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向下，PT下方的電場(chǎng)E₀的場(chǎng)強(qiáng)方向豎直向上，在電場(chǎng)左邊界AB上寬為L(zhǎng)的PQ區(qū)域內(nèi)，連續(xù)分布著電量為+q、質(zhì)量為m的粒子．從某時(shí)刻起由Q到P點(diǎn)間的帶電粒子，依次以相同的初速度v₀沿水平方向垂直射入勻強(qiáng)電場(chǎng)E₀中，若從Q點(diǎn)射入的粒子，通過(guò)PT上的某點(diǎn)R進(jìn)入勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁后從CD邊上的M點(diǎn)水平射出，其軌跡如圖，若MT兩點(diǎn)的距離為$\frac{L}{2}$．不計(jì)粒子的重力及它們間的相互作用．試求：
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E₀與E₁；
（2）在PQ間還有許多水平射入電場(chǎng)的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離有什么規(guī)律？

Answer 1

分析 （1）粒子在兩電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，由圖可得出粒子在兩電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)情況；分別沿電場(chǎng)方向和垂直電場(chǎng)方向列出物理規(guī)律，聯(lián)立可解得電場(chǎng)強(qiáng)度的大�。�
（2）粒子進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的合成與分解，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析答題．

解答 解：（1）設(shè)粒子經(jīng)PT直線上的點(diǎn)R由E₀電場(chǎng)進(jìn)入E₁電場(chǎng)，由Q到R及R到M點(diǎn)的時(shí)間分別為t₁與t₂，到達(dá)R時(shí)豎直速度為v_y，則：
由牛頓第二定律得：F=qE=ma，
由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移公式：s=$\frac{1}{2}$at²與勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式：v=at可得：
解得：L=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}$×$\frac{q{E}_{0}}{m}$×t₁²…①
而 $\frac{L}{2}$=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{1}}{m}$t₂²…②
速度關(guān)系：v_y=$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₁=$\frac{q{E}_{0}}{m}$t₂…③
v₀（t₁+t₂）=2L…④
上述四式聯(lián)立解得：E₁=2E₀，E₀=$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{8qL}$，E₁=$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{4qL}$；
（2）由E₁=2E₀及③式可得：t₁=2t₂．
因沿PT方向粒子做勻速運(yùn)動(dòng)，故P、R兩點(diǎn)間的距離是R、T兩點(diǎn)間距離的兩倍．即粒子在E₀電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)在PT方向的位移是在E₁電場(chǎng)中的兩倍．
設(shè)PQ間到P點(diǎn)距離為△y的F處射出的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也沿水平方向，若粒子第一次達(dá)PT直線用時(shí)△t，水平位移為△x，則△x=v₀△t
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（△t）²
粒子在電場(chǎng)E₁中可能做類平拋運(yùn)動(dòng)后，垂直CD邊射出電場(chǎng)，也可能做類斜拋運(yùn)動(dòng)后返回E₀電場(chǎng)，在E₀電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)垂直CD水平射出，或在E₀電場(chǎng)中做類斜拋運(yùn)動(dòng)再返回E₁電場(chǎng)，若粒子從E₁電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則有：
（2n+1）△x+$\frac{△x}{2}$=2L （n=0、1、2、3、…）
解之得：
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$[$\frac{4L}{3（2n+1）{v}_{0}}$]²=$\frac{L}{（2n+1）^{2}}$ （n=0、1、2、3、…）
若粒子從E₀電場(chǎng)垂直CD射出電場(chǎng)，則有：
3k△x=2L（k=1、2、3、…）
△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{2L}{3k{v}_{0}}$）²=$\frac{L}{4{k}^{2}}$（k=1、2、3、…）
即PF間的距離為：$\frac{L}{（2n+1）^{2}}$與$\frac{L}{4{k}^{2}}$ 其中（n=0、1、2、3、…，k=1、2、3、…）
或 2n$\frac{3△x}{2}$=2L （n=1、2、3、…）
解之得：△y=$\frac{1}{2}$$\frac{q{E}_{0}}{m}$（$\frac{△x}{{v}_{0}}$）²=$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
則PF間距為$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度E₀與E₁分別為：$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{8qL}$、$\frac{9m{v}_{0}^{2}}{4qL}$；
（2）在PQ間還有許多水平射入電場(chǎng)的粒子通過(guò)電場(chǎng)后也能垂直CD邊水平射出，這些入射點(diǎn)到P點(diǎn)的距離為：$\frac{L}{{n}^{2}}$（n=1、2、3、…）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了帶電粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，帶電粒子在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)，分析清楚粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，應(yīng)用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可以解題，由于粒子運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，本題難度較大．