Question

9．如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，星球相對飛行器的張角為θ，下列說法正確的是（　　）

• A． 飛行器軌道半徑越大，周期越長
• B． 飛行器軌道半徑越大，速度越大
• C． 若測得飛行器繞星球轉動的周期和張角，可得到星球的平均密度
• D． 若測得飛行器繞星球轉動的周期及其軌道半徑，可得到星球的平均密度

Answer 1

分析 根據開普勒第三定律，分析飛行器的周期與軌道半徑的關系；飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，由星球的萬有引力提供向心力，根據萬有引力定律和幾何知識、密度公式可求解星球的平均密度．

解答 解：A、根據開普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k，可知飛行器的軌道半徑越大，飛行器的周期越長．故A正確；
B、根據衛(wèi)星的速度公式 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知飛行器的軌道半徑越大，速度越小，故B錯誤；
C、設星球的質量為M，半徑為R，平均密度為，ρ．張角為θ，飛行器的質量為m，軌道半徑為r，周期為T．
對于飛行器，根據萬有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
由幾何關系有：R=rsin$\frac{θ}{2}$
星球的平均密度 ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$
由以上三式知測得周期和張角，可得到星球的平均密度．故C正確；
D、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$可得：M=$\frac{4π{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，可知若測得周期和軌道半徑，可得到星球的質量，但星球的半徑R未知，不能求出星球的平均密度．故D錯誤．
故選：AC

點評 本題的關鍵是要掌握開普勒第三定律和萬有引力等于向心力這一基本思路，結合幾何知識進行解題．